《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

8. [2025杭州期中]已知二次函数$y = -x^2 + bx + c$.
(1)当$b = 4,c = 3$时.
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$-1 \leq x \leq 3$时,求$y$的取值范围.
(2)当$x \leq 0$时,$y的最大值为2$；当$x ＞ 0$时,$y的最大值为3$,求二次函数的解析式.

答案： 8.解：
(1)①
∵b=4,c=3，
∴y=-x²+4x+3=-(x-2)²+7，
∴顶点坐标为(2,7). ②
∵-1≤x≤3中含有x=2，
∴当x=2时，y有最大值7.
∵-1＜0,2-(-1)＞3-2，
∴当x=-1时，y有最小值，最小值为-(-1)²+4×(-1)+3=-2.
∴当-1≤x≤3时，-2≤y≤7.
(2)
∵当x≤0时，y的最大值为2；当x＞0时，y的最大值为3，
∴该函数图象的对称轴x=$\frac{b}{2}$在y轴的右侧，
∴b＞0.
∵该函数图象开口向下，当x≤0时，y的最大值为2，
∴c=2.又
∵$\frac{4×(-1)×2-b²}{4×(-1)}$=3，
∴b=±2，
∵b＞0，
∴b=2，
∴二次函数的解析式为y=-x²+2x+2.

9. [2025天津河东区期末]已知二次函数$y = x^2 - 2tx + 3(t ＞ 0)$.
(1)若它的图象过点$(2,1)$,则$t$的值为$\frac{3}{2}$；
(2)当$0 \leq x \leq 3$时,$y的最小值为-2$,求出$t$的值；
(3)若$A(m - 2,a),B(4,b),C(m,a)$都在这个二次函数的图象上,且$a ＜ b ＜ 3$,求$m$的取值范围.
(2)易得该函数图象的对称轴为直线x=t.若0＜t≤3，则当x=t时，y最小，即t²-2t²+3=-2，解得t=±$\sqrt{5}$，
∵t＞0，
∴t=$\sqrt{5}$；若t＞3，则当x=3时，y最小，即-2=9-6t+3，解得t=$\frac{7}{3}$(不合题意，舍去).综上所述，t=$\sqrt{5}$.
(3)易知A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称，
∴$\frac{m-2+m}{2}$=t，即m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧.
∵抛物线与y轴的交点为(0,3)，抛物线的对称轴为直线x=t=m-1，
∴此交点关于对称轴对称的点为(2m-2,3).
∵b＜3且t＞0，
∴4＜2m-2，解得m＞3.当A,B都在对称轴左边时，
∵a＜b，
∴4＜m-2，解得m＞6；当A,B分别在对称轴两侧时，
∵a＜b，
∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，
∴4-(m-1)＞m-1-(m-2)，解得m＜4，
∴3＜m＜4.综上所述，m的取值范围为3＜m＜4或m＞6.

答案： 9.解：
(1)$\frac{3}{2}$
(2)易得该函数图象的对称轴为直线x=t.若0＜t≤3，则当x=t时，y最小，即t²-2t²+3=-2，解得t=±$\sqrt{5}$，
∵t＞0，
∴t=$\sqrt{5}$；若t＞3，则当x=3时，y最小，即-2=9-6t+3，解得t=$\frac{7}{3}$(不合题意，舍去).综上所述，t=$\sqrt{5}$.
(3)易知A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称，
∴$\frac{m-2+m}{2}$=t，即m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧.
∵抛物线与y轴的交点为(0,3)，抛物线的对称轴为直线x=t=m-1，
∴此交点关于对称轴对称的点为(2m-2,3).
∵b＜3且t＞0，
∴4＜2m-2，解得m＞3.当A,B都在对称轴左边时，
∵a＜b，
∴4＜m-2，解得m＞6；当A,B分别在对称轴两侧时，
∵a＜b，
∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离，
∴4-(m-1)＞m-1-(m-2)，解得m＜4，
∴3＜m＜4.综上所述，m的取值范围为3＜m＜4或m＞6.

10. [2024浙江中考]已知二次函数$y = x^2 + bx + c(b,c$为常数)的图象经过点$A(-2,5)$,对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$.
(1)求二次函数的解析式；
(2)若将点$B(1,7)向上平移2$个单位长度,向左平移$m(m ＞ 0)$个单位长度后,恰好落在抛物线$y = x^2 + bx + c$上,求$m$的值；
(3)当$-2 \leq x \leq n$时,二次函数$y = x^2 + bx + c的最大值与最小值的差为\frac{9}{4}$,求$n$的取值范围.

答案： 10.解：
(1)设二次函数的解析式为y=(x+$\frac{1}{2}$)²+k，把A(-2,5)的坐标代入，得(-2+$\frac{1}{2}$)²+k=5，解得k=$\frac{11}{4}$，
∴y=(x+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{11}{4}$=x²+x+3.
(2)点B平移后的坐标为(1-m,9)，则9=(1-m)²+(1-m)+3，解得m₁=4，m₂=-1(舍去)，
∴m的值为4.
(3)当x=-2时，y=5.当n＜-$\frac{1}{2}$时，最大值与最小值的差为5-[(n+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{11}{4}$]=$\frac{9}{4}$，解得n₁=n₂=-$\frac{1}{2}$，不符合题意，舍去；当-$\frac{1}{2}$≤n≤1时，最大值与最小值的差为5-$\frac{11}{4}$=$\frac{9}{4}$，符合题意；当n＞1时，最大值与最小值的差为(n+$\frac{1}{2}$)²+$\frac{11}{4}$-$\frac{11}{4}$=$\frac{9}{4}$，解得n₁=1，n₂=-2，均不符合题意.综上所述，n的取值范围为-$\frac{1}{2}$≤n≤1.