《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

16. 某工程队采用 $ A $,$ B $ 两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造.原计划 $ A $ 型设备每小时铺设路面比 $ B $ 型设备的2倍多30米,30小时恰好完成改造任务.
(1)求 $ A $ 型设备每小时铺设的路面长度；
(2)通过勘察,此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米.在实际施工中,$ B $ 型设备在铺路效率不变的情况下,时间比原计划增加了$ (m + 25) $小时,同时,$ A $ 型设备的铺路速度比原计划每小时下降了 $ 3m $ 米,而使用时间增加了 $ m $ 小时,求 $ m $ 的值.

答案： 解：
(1)设B型设备每小时铺设路面$x$米,则A型设备每小时铺设路面$(2x+30)$米,
根据题意得,$30x+30(2x+30)=3600$,解得$x=30$.则$2x+30=90$.
答:A型设备每小时铺设的路面长度为90米.
(2)根据题意得,$30(30+m+25)+(90-3m)(30+m)=3600+750$,整理得,$m^{2}-10m=0$,解得$m_{1}=10$,$m_{2}=0$(舍去),$\therefore m$的值为10.

17. 若 $ a $ 是一元二次方程 $ x^{2}+2x - 3 = 0 $ 的一个根,则 $ 2a^{2}+4a = $6.

答案： 6

18. [2024德州中考改编]已知 $ a $ 和 $ b $ 是方程 $ x^{2}+2026x - 4 = 0 $ 的两个解,则 $ a^{2}+2025a - b $ 的值为______2030.

答案： 2030

19. 若实数 $ x $ 满足 $ x^{2}-3x - 1 = 0 $,则 $ 2x^{3}-5x^{2}-5x - 1 = $0.

答案： 0

20. 已知实数 $ s $,$ t $ 满足 $ 2s^{2}+3s - 1 = 0 $,$ 2t^{2}+3t - 1 = 0 $,且 $ s \neq t $,则$ \frac{1}{s}-\frac{1}{t} $ 的值为$\pm \sqrt{17}$.

答案： $\pm \sqrt{17}$

21. [2024杭州期中]已知$ \triangle ABC $ 的两边 $ AB $,$ AC $ 的长是关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-2(n - 1)x + n^{2}-2n = 0 $ 的两个根,第三边 $ BC $ 的长是10.
(1)求证：无论 $ n $ 取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)当 $ n $ 为何值时,$ \triangle ABC $ 为等腰三角形？并求$ \triangle ABC $ 的周长.

答案：
(1)证明：$\because \Delta=[-2(n-1)]^{2}-4(n^{2}-2n)=4＞0$,
$\therefore$无论$n$取何值,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)解：由
(1)可得$AB\neq AC$,$\therefore$当$\triangle ABC$为等腰三角形时,$x=10$为一元二次方程的一个根,
把$x=10$代入原方程,得$100-20(n-1)+n^{2}-2n=0$,
解得$n=12$或$n=10$.
①当$n=12$时,方程变为$x^{2}-22x+120=0$,
设等腰三角形的底边长为$m_{1}$,则$m_{1}$为方程的另一个根,根据根与系数的关系,得$m_{1}+10=22$,$\therefore m_{1}=12$,
$\therefore \triangle ABC$的周长为$10+10+12=32$;
②当$n=10$时,方程变为$x^{2}-18x+80=0$,设等腰三角形的底边长为$m_{2}$,则$m_{2}$为方程的另一个根,
根据根与系数的关系,得$10+m_{2}=18$,解得$m_{2}=8$,
$\therefore \triangle ABC$的周长为$10+10+8=28$.
综上所述,当$n=12$或10时,$\triangle ABC$是等腰三角形,此时$\triangle ABC$的周长为32或28.