《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

13. 新视角新定义题我们定义：如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,则称这样的方程为“倍根方程”.
(1)请说明方程 $ x^{2}-3x + 2 = 0 $ 是倍根方程.
(2)若$ (x - 2)(mx + n)= 0 $ 是倍根方程,则 $ m $,$ n $ 具有怎样的关系？
(3)若一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(b^{2}-4ac \geq 0) $ 是倍根方程,请直接写出 $ a $,$ b $,$ c $ 的等量关系.

答案： 解：
(1)因式分解,得$(x-2)(x-1)=0$,
$\therefore x-2=0$或$x-1=0$,$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=1$,
$\therefore$方程$x^{2}-3x+2=0$是倍根方程.
(2)$\because (x-2)(mx+n)=0$,
$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=-\frac{n}{m}$.
当$-\frac{n}{m}=2× 2=4$时,$n=-4m$,
即$4m+n=0$;
当$-\frac{n}{m}=\frac{1}{2}× 2=1$时,$n=-m$,
即$m+n=0$.
综上所述,$m$,$n$的关系为$4m+n=0$或$m+n=0$.
(3)$2b^{2}=9ac$.

14. [2024青岛中考]如图,某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一个花坛,使花坛四周小路的宽度相等,且花坛所占面积为空地面积的一半,则小路的宽为2m.

答案： 2

15. [2025珠海香洲区期中]阅读以下信息,探索完成任务.
|凤凰快讯1|“乐学雷锋好榜样,爱心义卖暖人心.”凤凰中学每月举行义卖活动,同学们用自己的手工制作表达爱心,随着同学们的技术变得娴熟,该手工作品9月份生产100个,11月份生产144个.|
|凤凰快讯2|该手工作品的生产成本为30元/个,义卖一段时间后发现,当义卖价格为40元/个时,月销售量为600个,若在此基础上义卖价格每上涨1元/个,则月销售量将减少10个.|
|问题解决| |
|任务1|求该手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率.|
|任务2|若该月捐出善款(去除成本后)10000元,而且尽可能让更多的人能够献出爱心,请问该手工作品应该定价为多少?|

答案： 解：任务1:设该手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为$x$,
由题意得$100(1+x)^{2}=144$,解得$x_{1}=0.2=20\%$,$x_{2}=-2.2$(舍去).
答:该手工作品9月份到11月份生产数量的平均增长率为20%.
任务2:设该手工作品应该定价为$m$元/个,
由题意得$(m-30)[600-10(m-40)]=10000$,
解得$m_{1}=50$,$m_{2}=80$.
$\because$要尽可能让更多的人能够献出爱心,$\therefore m=50$.
答:该手工作品应该定价为50元/个.