《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,$\odot O的直径AB = 12$,点$P是AB$延长线上一点,且$PB = 4$,点$C是\odot O$上一点,$PC = 8$。求证：$PC是\odot O$的切线。

答案： 证明：连接 OC.
∵⊙O的直径AB=12，
∴OB=OC=6.
∵PB=4，
∴PO=10.
在△POC中，$PC^{2}+CO^{2}=8^{2}+6^{2}=100$，$PO^{2}=10^{2}=100$，
∴$PC^{2}+OC^{2}=PO^{2}$.
∴∠OCP=90°，即OC⊥PC.
又
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线.

2. [2025无锡月考]如图,在平面直角坐标系中,有$A(0,4)$,$B(4,4)$,$C(6,2)$三点。
(1)在图中画出经过$A$,$B$,$C三点的圆弧所在圆的圆心M$的位置；
(2)圆心$M$的坐标为______；
(3)点$D的坐标为(8,-2)$,连接$CD$,判断直线$CD与\odot M$的位置关系,并说明理由。

答案：
解：
(1)如图，点M即为所求.

(2)(2,0)
(3)直线CD与⊙M相切.理由：如图，连接MC,MD，
由勾股定理得$MC^{2}=4^{2}+2^{2}=20$，$CD^{2}=2^{2}+4^{2}=20$，$MD^{2}=2^{2}+6^{2}=40$，
∴$MC^{2}+CD^{2}=MD^{2}$，
∴∠MCD=90°，即MC⊥CD，
又
∵MC为⊙M的半径，
∴直线CD与⊙M相切.

3. 如图,以$AB为直径的\odot O经过点P$,$C$,且$\angle ACP = 60^{\circ}$,$D是AB$延长线上一点,$PA = PD$。试判断$PD与\odot O$的位置关系,并说明理由。

答案： 解：PD与⊙O相切，理由如下：连接PO，易知∠AOP=2∠ACP=120°.
∵OA=OP，
∴∠OAP=∠OPA=30°.
∵PA=PD，
∴∠D=∠OAP=30°.
∴∠OPD=∠AOP - ∠D=90°，即OP⊥PD.
又
∵OP是⊙O的半径，
∴PD与⊙O相切.

4. [2025廊坊期末]如图,以四边形$ABCD的对角线BD$为直径作圆,圆心为点$O$,$\angle BCD = 90^{\circ}$,过点$A作AE \perp CD$,交$CD的延长线于点E$,已知$DA平分\angle BDE$。
(1)求证：$AE是\odot O$的切线；
(2)若$AE = 4$,$CD = 6$,求$\odot O的半径和AD$的长。

答案：

(1)证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CE，
∴∠DAE+∠ADE=90°.
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE=∠ADO.

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠ADE=∠OAD，
∴∠DAE+∠OAD=90°，
∴OA⊥AE.
又
∵OA是⊙O的半径，
∴AE是⊙O的切线.
(2)解：如图，取CD的中点F，连接OF，易知OF⊥CD，
∴易得四边形AEFO是矩形，
∴OF=AE=4，EF=OA.
∵CD=6，
∴$DF=\frac{1}{2}DC=3$.
∴在Rt△OFD中，$OD=\sqrt{OF^{2}+DF^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.
在Rt△AED中，AE=4，ED=EF - DF=OA - DF=OD - DF=5 - 3=2，
∴$AD=\sqrt{4^{2}+2^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.