《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

10. 关于x的一元二次方程$x^{2}-3ax+2a^{2}-1= 0$的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

11. [2024北京中考]若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+c= 0$有两个相等的实数根,则实数c的值为(C)
A.-16
B.-4
C.4
D.16

答案： C

12. 若关于x的一元二次方程$(k-1)x^{2}+2x-2= 0$没有实数根,则k的值可以是(A)
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.2

答案： A

13. 已知a,b,c分别是三角形的三边长,且关于x的方程$(a+b)x^{2}+2cx+(a-b)= 0$有两个相等的实数根,则该三角形是直角三角形.

答案： 直角

14. 用公式法解下列方程:
(1)$2x^{2}+3x+4= -2x+1$;
(2)$x(3x-4)= 1-3x$;
(3)$3x(x-2)= 2(x-1)(x+1)$.

答案： $(1)$ 解方程$2x^{2}+3x + 4=-2x + 1$
解：
先将方程化为一般形式：
$2x^{2}+3x + 4 + 2x-1 = 0$，即$2x^{2}+5x + 3 = 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，这里$a = 2$，$b = 5$，$c = 3$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，代入可得$\Delta = 5^{2}-4×2×3=25 - 24 = 1$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，则$x=\frac{-5\pm\sqrt{1}}{2×2}=\frac{-5\pm1}{4}$。
当$x=\frac{-5 + 1}{4}$时，$x=-1$；当$x=\frac{-5-1}{4}$时，$x=-\frac{3}{2}$。
$(2)$ 解方程$x(3x - 4)=1-3x$
解：
先将方程化为一般形式：
$3x^{2}-4x + 3x-1 = 0$，即$3x^{2}-x - 1 = 0$。
这里$a = 3$，$b=-1$，$c = -1$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4×3×(-1)=1 + 12 = 13$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，则$x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}$。
$(3)$ 解方程$3x(x - 2)=2(x - 1)(x + 1)$
解：
先将方程化为一般形式：
$3x^{2}-6x = 2(x^{2}-1)$，即$3x^{2}-6x = 2x^{2}-2$，进一步化为$x^{2}-6x + 2 = 0$。
这里$a = 1$，$b=-6$，$c = 2$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×2=36 - 8 = 28$。
由求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，则$x=\frac{6\pm\sqrt{28}}{2×1}=\frac{6\pm2\sqrt{7}}{2}=3\pm\sqrt{7}$。
综上，$(1)$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=-\frac{3}{2}$；$(2)$的解为$x_{1}=\frac{1 + \sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{13}}{6}$；$(3)$的解为$x_{1}=3+\sqrt{7}$，$x_{2}=3-\sqrt{7}$。

15. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(k+1)x+2k-2= 0$.
(1)试判断方程的根的情况;
(2)若该方程有一根大于0且小于1,求k的取值范围.

答案： 解：
(1)
∵a=1,b=-(k+1),c=2k-2，
∴Δ=b²-4ac=[-(k+1)]²-4×1×(2k-2)=k²-6k+9=(k-3)²≥0，
∴此方程总有两个实数根.
(2)由
(1)得,x=((k+1)±√(k-3)²)/2，即x₁=k-1,x₂=2.
∵此方程有一根大于0且小于1，
∴0＜k-1＜1,
∴1＜k＜2.

16. 新视角 新定义题我们规定:对于任意实数a,b,c,d,有$[a,b]*[c,d]= ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]= 3×5-2×1= 13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值;
(2)已知关于x的方程$[x,2x-1]*[mx+1,m]= 0$有两个实数根,求m的取值范围.

答案： 解：
(1)[-4,3]∗[2,-6]=-4×2-3×(-6)=10.
(2)根据题意，得x(mx+1)-m(2x-1)=0，整理得mx²+(1-2m)x+m=0.
∵关于x的方程[x,2x-1]∗[mx+1,m]=0有两个实数根，
∴Δ=(1-2m)²-4m⋅m≥0,且m≠0,解得m≤1/4且m≠0.