《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

7. [2025 张家口期末] 某商店购进一批单价为 20 元的日用商品,如果以单价 30 元销售,那么每天可以售出 400 件,根据销售经验可知,提高销售单价会导致销售量减少,即销售单价每提高 1 元,销售量相应减少 20 件,若设每件商品涨 $ x $ 元,销售利润为 $ y $ 元,则可列关系式为 $ y = ( 30 + x - 20 ) ( 400 - 20 x ) $. 对所列关系式中出现的代数式,下列说法错误的是( A )
A.$ ( 30 + x - 20 ) $ 表示涨价后商品的单价
B.$ 20 x $ 表示涨价后少售出商品的数量
C.$ ( 400 - 20 x ) $ 表示涨价后售出商品的数量
D.$ ( 30 + x ) $ 表示涨价后商品的单价

答案： A

8. 某村民在网上直播推销某种农副产品,在试销售的 30 天中,第 $ x $ 天 $ ( 1 \leq x \leq 30 $ 且 $ x $ 为整数) 的售价为 $ y $ (元/千克). 当 $ 1 \leq x \leq 20 $ 时,$ y = k x + b $；当 $ 20 ＜ x \leq 30 $ 时,$ y = 15 $. 销量 $ z $ (千克) 与 $ x $ 的函数关系式为 $ z = x + 10 $,已知该产品第 10 天的售价为 20 元/千克,第 15 天的售价为 15 元/千克,设第 $ x $ 天的销售额为 $ M $ (元).
(1) $ k = $-1,$ b = $30；
(2) 写出第 $ x $ 天的销售额 $ M $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
依题意，得 $ y=\begin{cases} -x+30 & (1\leq x\leq20) \\ 15 & (20＜x\leq30) \end{cases} $，当 $ 1\leq x\leq20 $ 时，$ M=yz=(x+10)\cdot(-x+30)=-x²+20x+300 $，当 $ 20＜x\leq30 $ 时，$ M=yz=15(x+10)=15x+150 $，
∴$ M=\begin{cases} -x²+20x+300 & (1\leq x\leq20) \\ 15x+150 & (20＜x\leq30) \end{cases} $
(3) 求在试销售的 30 天中,共有多少天销售额超过 500 元？
当 $ 1\leq x\leq20 $ 时，$ M=-x²+20x+300=-(x-10)²+400\leq400 $，当 $ 20＜x\leq30 $ 时，$ 15x+150＞500 $，解得 $ x＞\frac{70}{3} $，
∵$ x $ 为正整数，
∴第 24 天至第 30 天，销售额超过 500 元，$ 30 - 24 + 1 = 7 $（天）.答：在试销售的 30 天中，共有 7 天销售额超过 500 元.

答案： 解：
(1)-1;30
(2)依题意，得 y={-x+30(1≤x≤20),15(20＜x≤30),当 1≤x≤20 时，M=yz=(x+10)·(-x+30)=-x²+20x+300，当 20＜x≤30 时，M=yz=15(x+10)=15x+150，
∴M={-x²+20x+300(1≤x≤20),15x+150(20＜x≤30).
(3)当 1≤x≤20 时，M=-x²+20x+300=-(x-10)²+400≤400，当 20＜x≤30 时，15x+150＞500，解得 x＞70/3，
∵x 为正整数，
∴第 24 天至第 30 天，销售额超过 500 元，30-24+1=7(天).答：在试销售的 30 天中，共有 7 天销售额超过 500 元.

9. [2024 贵州中考] 某超市购入一批进价为 10 元/盒的糖果进行销售,经市场调查发现：销售单价不低于进价时,日销售量 $ y $ (盒) 与销售单价 $ x $ (元) 是一次函数关系,下表是 $ y $ 与 $ x $ 的几组对应值.
| 销售单价 $ x $/元 | … | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | … |
| 销售量 $ y $/盒 | … | 56 | 52 | 48 | 44 | 40 | … |
(1) 求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式；
(2) 糖果销售单价定为多少元时,所获日销售利润最大？最大利润是多少？
(3) 若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为 $ m $ 元的礼品,赠送礼品后,为确保该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元,求 $ m $ 的值.

答案： 解：
(1)设 y 与 x 的函数解析式为 y=kx+b，把 x=12,y=56;x=20,y=40 代入，得{12k+b=56,20k+b=40,解得{k=-2,b=80,
∴y 与 x 的函数解析式为 y=-2x+80.
(2)设日销售利润为 w 元，根据题意，得 w=(x-10)·y=(x-10)(-2x+80)=-2x²+100x-800=-2(x-25)²+450，
∵-2＜0，
∴当 x=25 时，w 有最大值，最大值为 450，
∴糖果销售单价定为 25 元时，所获日销售利润最大，最大利润是 450 元.
(3)设赠送礼品后，日销售利润为 w₁ 元，根据题意，得 w₁=(x-10-m)·y=(x-10-m)(-2x+80)=-2x²+(100+2m)x-800-80m，
∴当 x=-100+2m/2×(-2)=50+m/2 时，w₁ 有最大值，为-2(50+m/2)²+(100+2m)·50+m/2-800-80m,
∵糖果日销售获得最大利润为 392 元，
∴-2(50+m/2)²+(100+2m)·50+m/2-800-80m=392，整理得 m²-60m+116=0，解得 m₁=2,m₂=58.当 m=58 时，x=54，则每盒糖果的利润为 54-10-58＜0，舍去，
∴m 的值为 2.