《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

14. (10分)嘉嘉同学解一元二次方程$3x^{2}-5x = 2$的过程如下.
解：$\because a = 3$,$b = -5$,$c = 2$,①
$\therefore\Delta = b^{2}-4ac = (-5)^{2}-4×3×2 = 1$,②
$\therefore x= \frac{-(-5)\pm\sqrt{1}}{2×3}= \frac{5\pm1}{6}$,③
$\therefore x_{1}= \frac{2}{3}$,$x_{2}= 1$.④
(1)嘉嘉解方程的方法是公式法；他的求解过程从第①步开始出现错误.
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤.
方程变形为$3x^{2}-5x-2=0$,$\therefore a=3$,$b=-5$,$c=-2$,$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 3×(-2)=49$,$\therefore x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{49}}{2× 3}=\frac{5\pm 7}{6}$,$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=-\frac{1}{3}$.

答案： （1）公式法；①（2）方程变形为$3x^{2}-5x-2=0$,$\therefore a=3$,$b=-5$,$c=-2$,$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(-5)^{2}-4× 3×(-2)=49$,$\therefore x=\frac{-(-5)\pm \sqrt{49}}{2× 3}=\frac{5\pm 7}{6}$,$\therefore x_{1}=2$,$x_{2}=-\frac{1}{3}$.

15. (10分)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-2x + m - 1 = 0$有两个实数根.
(1)求$m$的取值范围；
(2)设$p$是方程的一个实数根,且满足$(p^{2}-2p + 3)(m + 4)= 7$,求$m$的值.

答案： （1）根据题意，得$\Delta =b^{2}-4ac=4-4× (m-1)\geq 0$,解得$m\leq 2$.（2）$\because p$是方程的一个实数根，$\therefore p^{2}-2p+m-1=0$.$\therefore p^{2}-2p=1-m$.$\therefore (p^{2}-2p+3)(m+4)=(1-m+3)\cdot(m+4)=7$,解得$m_{1}=3$(舍去),$m_{2}=-3$.故$m$的值为$-3$.

16. (12分)已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(k + 1)x + k - 3 = 0$.
(1)求证：无论$k$取何值,该方程总有两个不相等的实数根；
(2)当矩形$ABCD的对角线AC= \sqrt{23}$,且矩形的两条边$AB和BC$恰好是这个方程的两个根时,求矩形$ABCD$的周长.

答案： （1）$\because b^{2}-4ac=(k+1)^{2}-4× 1×(k-3)=(k-1)^{2}+12\geq 12$,$\therefore$无论$k$取何值，该方程总有两个不相等的实数根.（2）$\because$矩形的两条边$AB$和$BC$恰好是这个方程的两个根，$\therefore AB+BC=k+1$,$AB\cdot BC=k-3$,$\therefore (AB+BC)^{2}=(k+1)^{2}$,在$\text{Rt}\triangle ABC$中,$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$,即$AB^{2}+BC^{2}=(\sqrt{23})^{2}=23$.$\because (AB+BC)^{2}=AB^{2}+2AB\cdot BC+BC^{2}$,$\therefore (k+1)^{2}=23+2(k-3)$,解得$k=\pm 4$,当$k=4$时,$AB+BC=k+1=4+1=5$,$\therefore C_{\text{矩形}ABCD}=2(AB+BC)=2× 5=10$;当$k=-4$时,$AB+BC=-4+1=-3$,不合题意，舍去.故矩形$ABCD$的周长为10.