《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

11. [2025淄博张店区月考]抛物线$y = x^{2}$,$y = -x^{2}$,$y = \frac{1}{2}x^{2}$的共同点是(C)
A.开口向上,对称轴是$y$轴,顶点是原点
B.开口向下,对称轴是$y$轴,顶点是原点
C.对称轴是$y$轴,顶点是原点
D.函数$y$的最小值为0

答案： C

12. [2025北京海淀区月考]如图是四个二次函数的图象,则$a$,$b$,$c$,$d$的大小关系为(B)
A.$d ＜ c ＜ a ＜ b$
B.$d ＜ c ＜ b ＜ a$
C.$c ＜ d ＜ a ＜ b$
D.$c ＜ d ＜ b ＜ a$

答案： B

13. 一次函数$y = ax + a$与二次函数$y = ax^{2}$在同一直角坐标系中大致的图象可能是(D)

答案： D

14. 如图,正方形的边长为4,以正方形中心为原点建立平面直角坐标系,作出函数$y = \frac{1}{3}x^{2}与y = -\frac{1}{3}x^{2}$的图象,则阴影部分的面积是8.

答案： 8

15. 如图,从二次函数$y = ax^{2}$的图象上可以看出,当$-1 \leq x \leq 2$时,$y$的取值范围是$ 0\leqslant y\leqslant 4 $.

答案： $ 0\leqslant y\leqslant 4 $

16. 已知函数$y = (m + 2)x^{m^{2}+m - 4}是关于x$的二次函数.
(1)求$m$的值.
(2)$m$为何值时,二次函数的图象有最低点？求出这个最低点的坐标,此时当$x$为何值时,$y随x$的增大而增大？
(3)$m$为何值时,二次函数有最大值？最大值是多少？此时当$x$为何值时,$y随x$的增大而减小？

答案： 解：
(1)
∵函数 $ y=(m+2)x^{m^{2}+m-4} $ 是关于x的二次函数，
∴$ m^{2}+m-4=2 $,且 $ m+2\neq 0 $,解得 $ m_{1}=2 $,$ m_{2}=-3 $.
(2)当 $ m=2 $ 时,二次函数的图象有最低点，此时 $ y=4x^{2} $,最低点的坐标为(0,0)，当 $ x＞0 $ 时,y随x的增大而增大.
(3)当 $ m=-3 $ 时,二次函数有最大值，此时 $ y=-x^{2} $,二次函数的最大值为0,当 $ x＞0 $ 时,y随x的增大而减小.

17. 如图,抛物线$y = ax^{2}与四条直线x = 1$,$x = 2$,$y = 1$,$y = 2围成的正方形ABCD$有公共点.
(1)求$a$的取值范围；
(2)若$a$为整数,求抛物线的解析式.

答案： 解：
(1)因为四条直线 $ x=1 $,$ x=2 $,$ y=1 $,$ y=2 $ 围成正方形ABCD，所以A(1,2),C(2,1).把A(1,2)的坐标代入 $ y=ax^{2} $,得 $ a=2 $;把C(2,1)的坐标代入 $ y=ax^{2} $,得 $ 4a=1 $,解得 $ a=\frac{1}{4} $.由题图可得 $ \frac{1}{4}\leqslant a\leqslant 2 $.
(2)因为a为整数且 $ \frac{1}{4}\leqslant a\leqslant 2 $,所以 $ a=1 $ 或 $ a=2 $,所以抛物线的解析式为 $ y=x^{2} $ 或 $ y=2x^{2} $.