《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

10. [2025南京月考]数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,测出$AB= 40cm,CD= 10cm$,则圆形工件的半径为25cm.

答案： 解：设圆形工件的圆心为O，半径为r cm，连接OA。
因为CD是AB的垂直平分线，根据垂径定理，圆心O在CD所在的直线上。
已知AB=40cm，所以AD=AB/2=20cm。
CD=10cm，设OD=x cm，则OC=OD+CD=(x+10)cm，又因为OC=r，所以OA=r，OD=r-10。
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OA²=AD²+OD²，即r²=20²+(r-10)²。
展开得：r²=400+r²-20r+100，
化简得：0=500-20r，
解得：20r=500，r=25。
答：圆形工件的半径为25cm。

11. 易错题已知$\odot O$的直径为10 cm,AB,CD是$\odot O$的两条弦,$AB// CD,AB= 8cm,CD= 6cm$,则AB与CD之间的距离为 (C)
A.1 cm
B.7 cm
C.1 cm或7 cm
D.3 cm或4 cm

答案： 解：过点O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OA，OC。
∵AB//CD，
∴OE，OF在同一直线上。
∵OA=OC=5cm（半径）。
情况1：AB，CD在圆心O同侧。
∵OE⊥AB，
∴AE=AB/2=4cm。
在Rt△AOE中，OE=√(OA²-AE²)=√(25-16)=3cm。
同理，CF=CD/2=3cm，OF=√(OC²-CF²)=√(25-9)=4cm。
AB与CD距离=OF-OE=4-3=1cm。
情况2：AB，CD在圆心O两侧。
AB与CD距离=OF+OE=4+3=7cm。
综上，距离为1cm或7cm。
答案：C

12. 如图,在$\odot O$中,直径AB⊥弦CD于点E,$CD= 6,BE= 1$,则弦AC的长为$3\sqrt{10}$.

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理求出$CE$的长度，再设出圆的半径，利用勾股定理建立方程求出半径，最后通过三角函数的定义求出弦$AC$的长度。
步骤一：根据垂径定理求出$CE$的长度
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知直径$AB\perp$弦$CD$于点$E$，$CD = 6$，根据垂径定理可得$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×6 = 3$。
步骤二：设圆的半径，利用勾股定理建立方程求出半径
设$\odot O$的半径为$r$，则$OE = r - 1$（因为$BE = 1$）。
在$Rt\triangle OCE$中，根据勾股定理$OC^{2}=OE^{2}+CE^{2}$，其中$OC = r$，$OE = r - 1$，$CE = 3$，代入可得：
$r^{2}=(r - 1)^{2}+3^{2}$
展开$(r - 1)^{2}$得$r^{2}-2r + 1$，则方程变为：
$r^{2}=r^{2}-2r + 1 + 9$
移项化简可得：
$2r = 10$
解得$r = 5$。
步骤三：求出$AE$和$CE$的长度
因为$AB$是直径，$r = 5$，所以$AB = 2r = 10$，又因为$BE = 1$，所以$AE = AB - BE = 10 - 1 = 9$，且$CE = 3$。
步骤四：通过三角函数的定义求出弦$AC$的长度
在$Rt\triangle ACE$中，$\cos\angle CAE=\frac{AE}{AC}$，同时$\sin\angle CAE=\frac{CE}{AC}$。
先求$\sin\angle CAE$的值，在$Rt\triangle OCE$中，$\sin\angle COE=\frac{CE}{OC}=\frac{3}{5}$，因为$\angle CAE$与$\angle COE$所对的是同一条弧$\overset{\frown}{BC}$，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，可知$\angle CAE=\frac{1}{2}\angle COE$，但此处我们可直接利用$\sin\angle CAE=\frac{CE}{AC}$来求解$AC$。
由$\sin\angle CAE=\frac{CE}{AC}$，且$\sin\angle CAE$可通过$Rt\triangle ACE$中边的关系求解，$\cos\angle CAE=\frac{AE}{AC}$，根据勾股定理$AC=\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{9^{2}+3^{2}}=\sqrt{81 + 9}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$。
另一种方法，连接$AD$，因为$AB$是直径，所以$\angle ADB = 90^{\circ}$，又因为$AB\perp CD$，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，则$AC = AD$。
在$Rt\triangle AED$中，$AE = 9$，$DE = 3$，根据勾股定理$AD=\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{9^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{10}$，所以$AC = 3\sqrt{10}$。
【答案】：$3\sqrt{10}$

13. 如图,在$\odot O$中,弦$AB= 9$,点C在AB上移动,连接OC,过点C作$CD⊥OC交\odot O$于点D,则CD长的最大值为____$\frac{9}{2}$.

答案： 【解析】：本题考查圆与勾股定理的综合应用。
连接$OD$，在$Rt \bigtriangleup OCD$中，$CD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}$，
当$OC$的值最小时，$CD$的值最大，
而$OC$的最小值为$O$到$AB$的距离，
即为垂直时，
由垂径定理可求得这一距离为$\sqrt{r^{2}-(\frac{9}{2})^{2}}$，
但本题并未给出圆的半径，
所以当点$C$为$AB$中点时，$OC$取得最小值，
此时$OC$与$AB$垂直。
设圆的半径为r，
则$OC=\sqrt{r^{2}-(\frac{9}{2})^{2}}$，
在$Rt \bigtriangleup OCD$中，
$CD=\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}$
$=\sqrt{r^{2}-(r^{2}-(\frac{9}{2})^{2})}$
$=\frac{9}{2}$
所以$CD$的最大值为$\frac{9}{2}$。
【答案】：$\frac{9}{2}$。

14. 情境题 生活应用如图,一座拱桥的截面是圆弧形,它的跨度$AB= 60$米,拱高$PD= 18$米.
(1)求圆弧所在圆的半径;
(2)当洪水泛滥到跨度只有30米时,要采取紧急措施.若拱顶离水面只有4米,即$PE= 4$米,是否需要采取紧急措施?

答案：
(1)解：设圆弧所在圆的圆心为$O$，半径为$R$米，连接$OA$，$OD$。
因为$PD$是拱高，$AB$是跨度，所以$PD$垂直平分$AB$，$AD=\frac{AB}{2}=\frac{60}{2}=30$米，$OD=OP - PD = R - 18$米。
在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理得：$OA^2 = AD^2 + OD^2$，即$R^2 = 30^2 + (R - 18)^2$。
展开得：$R^2 = 900 + R^2 - 36R + 324$，
移项化简得：$36R = 1224$，
解得$R = 34$。
(2)解：连接$OA'$，此时$PE = 4$米，所以$OE = OP - PE = 34 - 4 = 30$米。
在$Rt\triangle A'OE$中，由勾股定理得：$A'E^2 = OA'^2 - OE^2 = 34^2 - 30^2 = 1156 - 900 = 256$，
所以$A'E = 16$米，跨度$A'B' = 2A'E = 32$米。
因为$32$米$＞ 30$米，所以不需要采取紧急措施。
答：
(1)圆弧所在圆的半径为34米；
(2)不需要采取紧急措施。

15. 如图,点P是$\odot O$内一定点.

(1)过点P作弦AB,使点P是AB的中点.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若$\odot O$的半径为13,$OP= 5$.
①求过点P的弦的长度m的取值范围;
②过点P的弦中,长度为整数的弦有____条.

答案：

(1)
(2)①解：连接OA。当弦AB过圆心O时，AB为直径，此时m最大，m=2×13=26。当弦AB垂直于OP时，AB最短。在Rt△OAP中，OA=13，OP=5，由勾股定理得AP=√(OA²-OP²)=√(13²-5²)=12，
∴AB=2AP=24。
∴m的取值范围是24≤m≤26。
②5