《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

12. [2024日照中考]已知实数$x_{1}$,$x_{2}(x_{1}\neq x_{2})是关于x的方程kx^{2}+2kx + 1 = 0(k\neq0)$的两个根,若$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= 2$,则$k$的值为(B)
A.1
B.-1
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： B

13. 若菱形两条对角线的长度是方程$x^{2}-4x + 3 = 0$的两根,则该菱形的面积为(C)
A.3
B.-3
C.$\frac{3}{2}$
D.$-\frac{3}{2}$

答案： C

14. 小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是-2和-5. 则原来的方程是(B)
A.$x^{2}+6x + 5 = 0$
B.$x^{2}-7x + 10 = 0$
C.$x^{2}-5x + 2 = 0$
D.$x^{2}-6x - 10 = 0$

答案： B

15. 易错题 设$x_{1}$,$x_{2}是方程x^{2}-x + 2m - 1 = 0$的两个实数根,若$x_{1}x_{2}＞0$,则$m$的取值范围是$\frac{1}{2}＜m\leq\frac{5}{8}$.

答案： $\frac{1}{2}＜m\leq\frac{5}{8}$

16. [2024成都中考]若$m$,$n是一元二次方程x^{2}-5x + 2 = 0$的两个实数根,则$m+(n - 2)^{2}$的值为7.

答案： 7

17. [2024遂宁中考]已知关于$x的一元二次方程x^{2}-(m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1)求证：无论$m$取何值,方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为$x_{1}$,$x_{2}$,且$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 9$,求$m$的值.

答案：
(1)证明：$\Delta=[-(m+2)]^{2}-4×1×(m-1)=m^{2}+8$,
∵无论m取何值,$m^{2}+8＞0$恒成立，
∴无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)解：
∵$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-(m+2)x+m-1=0$的两个实数根，
∴$x_{1}+x_{2}=m+2$,$x_{1}x_{2}=m-1$,
∴$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-3x_{1}x_{2}=(m+2)^{2}-3(m-1)=9$,
解得$m_{1}=1$,$m_{2}=-2$.

18. 阅读材料,解答问题：
已知实数$m$,$n满足m^{2}-m - 1 = 0$,$n^{2}-n - 1 = 0$,且$m\neq n$,则$m$,$n是方程x^{2}-x - 1 = 0$的两个不相等的实数根,由根与系数的关系就可以知道$m与n$的和,$m与n$的积.
根据上述材料,解决以下问题：
(1)【材料理解】
$m + n = $1,$mn = $-1；
(2)【类比应用】
已知实数$a$,$b$满足：$a^{2}-5a + 1 = 0$,$b^{2}-5b + 1 = 0$,且$a\neq b$,求$a^{2}+b^{2}$的值；
解：∵实数a,b满足：$a^{2}-5a+1=0$,$b^{2}-5b+1=0$,且$a\neq b$,
∴实数a,b是关于x的方程$x^{2}-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
∴$a+b=5$,$ab=1$,
∴$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=5^{2}-2×1=23$.
(3)【思维拓展】
已知实数$s$,$t$满足：$2s^{2}-7s + 1 = 0$,$t^{2}-7t + 2 = 0$,且$st\neq1$,求$\frac{2st + 2}{st + 3t + 1}$的值.
解：当$t=0$时,$t^{2}-7t+2=2\neq0$,
∴$t\neq0$,
∵$t^{2}-7t+2=0$,
∴$\frac{2}{t^{2}}-\frac{7}{t}+1=0$,
∵$st\neq1$,
∴$s\neq\frac{1}{t}$.又
∵$2s^{2}-7s+1=0$,
∴$s,\frac{1}{t}$是关于x的方程$2x^{2}-7x+1=0$的两个不相等的实数根，
∴$s+\frac{1}{t}=\frac{7}{2}$,即$\frac{st+1}{t}=\frac{7}{2}$,
∴$st+1=\frac{7}{2}t$,
∴$\frac{2st+2}{st+3t+1}=\frac{2(st+1)}{(st+1)+3t}=\frac{2×\frac{7}{2}t}{\frac{7}{2}t+3t}=\frac{7t}{\frac{13}{2}t}=\frac{14}{13}$.

答案： 解：
(1)1；-1
(2)
∵实数a,b满足：$a^{2}-5a+1=0$,$b^{2}-5b+1=0$,且$a\neq b$,
∴实数a,b是关于x的方程$x^{2}-5x+1=0$的两个不相等的实数根，
∴$a+b=5$,$ab=1$,
∴$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=5^{2}-2×1=23$.
(3)当$t=0$时,$t^{2}-7t+2=2\neq0$,
∴$t\neq0$,
∵$t^{2}-7t+2=0$,
∴$\frac{2}{t^{2}}-\frac{7}{t}+1=0$,
∵$st\neq1$,
∴$s\neq\frac{1}{t}$.又
∵$2s^{2}-7s+1=0$,
∴$s,\frac{1}{t}$是关于x的方程$2x^{2}-7x+1=0$的两个不相等的实数根，
∴$s+\frac{1}{t}=\frac{7}{2}$,即$\frac{st+1}{t}=\frac{7}{2}$,
∴$st+1=\frac{7}{2}t$,
∴$\frac{2st+2}{st+3t+1}=\frac{2(st+1)}{(st+1)+3t}=\frac{2×\frac{7}{2}t}{\frac{7}{2}t+3t}=\frac{7t}{\frac{13}{2}t}=\frac{14}{13}$.