《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 若抛物线$y= x^{2}+bx - 2经过点(1,0)$,则该抛物线的解析式为(B)
A.$y= x^{2}-x - 2$
B.$y= x^{2}+x - 2$
C.$y= x^{2}+2x - 2$
D.$y= x^{2}-2x - 2$

答案： B

2. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx$,当$x = 1$时,$y = 2$；当$x= -1$时,$y = 4$,则$a$,$b$的值是(A)
A.$a = 3$,$b= -1$
B.$a = 3$,$b = 1$
C.$a= -3$,$b = 1$
D.$a= -3$,$b= -1$

答案： A

3. [教材$P_{39}$探究变式]若二次函数的图象经过$(0,3)$,$(-2,-5)$,$(1,4)$三点,则该二次函数的解析式为(D)
A.$y= x^{2}+6x + 3$
B.$y= -3x^{2}-2x + 3$
C.$y= 2x^{2}+8x + 3$
D.$y= -x^{2}+2x + 3$

答案： D

4. 若$y= ax^{2}+bx + c$,由下面表格中的信息可知$y与x$之间的函数解析式是$ y=x^{2}-4x+3 $.
|$x$|$-1$|$0$|$1$|
|$ax^{2}$| | |$1$|
|$ax^{2}+bx + c$|$8$|$3$| |

答案： $ y=x^{2}-4x+3 $

5. [2025杭州月考]若二次函数的图象的顶点坐标为$(2,-1)$,且过点$(0,3)$,则该二次函数的解析式是(A)
A.$y= (x - 2)^{2}-1$
B.$y= (x + 2)^{2}-1$
C.$y= -(x - 2)^{2}-1$
D.$y= -(x - 2)^{2}+1$

答案： A

6. [2025枣庄月考]若抛物线的顶点为$(3,-5)$,且与抛物线$y= \frac{1}{2}x^{2}$的开口方向、大小相同,则这条抛物线的解析式为$ y=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-5 $.

答案： $ y=\frac{1}{2}(x-3)^{2}-5 $

7. 已知二次函数的图象经过点$(1,10)$,且当$x= -1$时,$y有最小值-2$,求该二次函数的解析式.

答案： 解：由题意可得，二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-2)$，
∴设该二次函数的解析式为$ y=a(x+1)^{2}-2 $，
将点$(1,10)$的坐标代入解析式，
得$ 4a-2=10 $，解得$ a=3 $，
∴该二次函数的解析式为$ y=3(x+1)^{2}-2=3x^{2}+6x+1 $.

8. 已知抛物线与$x轴交于A(-2,0)$,$B(1,0)$,且经过点$C(2,8)$. 可设该抛物线的解析式为$y= a(x +$2$)(x -$1$)$,将点$C(2,8)$的坐标代入,得方程$ 8=a(2+2)(2-1) $,解得$a= $2,故该抛物线的解析式为$ y=2x^{2}+2x-4 $.

答案： 2；1；$ 8=a(2+2)(2-1) $；2；$ y=2x^{2}+2x-4 $

9. [教材$P_{40}练习T_{1}$变式]如图,已知抛物线交$x轴于A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,交$y轴于点C$,$OC = 2$,连接$BC$. 求抛物线的解析式和$BC$的长.

答案： 解：
∵抛物线交x轴于$ A(-1,0) $，$ B(3,0) $两点，
∴可设抛物线的解析式为$ y=a(x+1)(x-3) $.
∵$ OC=2 $，
∴$ C(0,2) $，
把点C的坐标代入$ y=a(x+1)(x-3) $，得$ -3a=2 $，
∴$ a=-\frac{2}{3} $，
∴$ y=-\frac{2}{3}(x+1)(x-3) $，
化为一般式为$ y=-\frac{2}{3}x^{2}+\frac{4}{3}x+2 $.
∵$ B(3,0) $，
∴$ OB=3 $，
由勾股定理得$ BC=\sqrt{OB^{2}+OC^{2}}=\sqrt{13} $.