《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. (1)圆是轴对称图形,它有无数条对称轴,它的对称轴是任何一条直径所在的直线.
(2)圆也是中心对称图形,它的对称中心是圆心.

答案：
(1)无数;任何一条直径所在的直线
(2)圆心

2. 如图,CD是$\odot O$的直径,AB是弦且不是直径,$CD⊥AB$于点E,则下列结论不一定正确的是 (B)
A.$AE= BE$
B.$OE= DE$
C.$AO= CO$
D.$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BD}$

答案： 【解析】：本题可根据圆的性质以及垂径定理来逐一分析每个选项。
选项A：$AE = BE$
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知$CD$是$\odot O$的直径，$CD\perp AB$于点$E$，所以$AE = BE$，该选项正确。
选项B：$OE = DE$
虽然$CD\perp AB$，但仅由此条件无法得出$OE = DE$。
$OE$的长度取决于弦$AB$的位置，$DE$的长度也与弦$AB$以及圆的相关位置有关，二者不一定相等，该选项不一定正确。
选项C：$AO = CO$
因为$O$是圆心，$AO$和$CO$都是圆的半径，根据圆的性质：圆的半径都相等，所以$AO = CO$，该选项正确。
选项D：$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BD}$
由垂径定理可知，垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧。
因为$CD$是$\odot O$的直径且$CD\perp AB$，所以$\overset{\frown}{AD}= \overset{\frown}{BD}$，该选项正确。
【答案】：B

3. [教材$P_{83}练习T_{1}$变式][2024长沙中考]如图,在$\odot O$中,弦AB的长为8,圆心O到AB的距离$OE= 4$,则$\odot O$的半径长为 (B)

A.4
B.$4\sqrt{2}$
C.5
D.$5\sqrt{2}$

答案： 解：连接OA。
∵OE⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=4。
在Rt△AOE中，OE=4，AE=4，
由勾股定理得OA²=AE²+OE²=4²+4²=32，
∴OA=4√2。
答案：B。

4. 如图,AB是$\odot O$的直径,弦$CD⊥AB$于点E,若$AB= 8,AE= 1$,则弦CD的长是 (B)
A.$\sqrt{7}$
B.$2\sqrt{7}$
C.6
D.8

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理和勾股定理来求解弦$CD$的长。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$于点$E$，根据垂径定理可知$CD = 2CE$，所以只需求出$CE$的长度即可得到$CD$的长度。
连接$OC$，因为$AB = 8$，所以圆$O$的半径$OC=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4$。
已知$AE = 1$，则$OE=OA - AE$，又因为$OA = OC = 4$，所以$OE = 4 - 1 = 3$。
在$Rt\triangle OCE$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得$CE=\sqrt{OC^{2}-OE^{2}}$。
将$OC = 4$，$OE = 3$代入上式可得：$CE=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{16 - 9}=\sqrt{7}$。
因为$CD = 2CE$，所以$CD = 2\sqrt{7}$。
【答案】：B

5. [2025东莞月考]如图,$\odot O$的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的一个动点,则线段OM的长的最小值为3.

答案： 【解析】：本题主要考查了垂径定理的应用，以及点到直线的距离性质。
首先，根据题目已知条件，$\odot O$的半径为5，弦AB的长为8。
我们作$OC\perp AB$于点C，并连接$OA$。
由于$OC\perp AB$，根据垂径定理，我们知道$AC=\frac{1}{2}AB=4$。
接下来，我们需要求出$OC$的长度。
由于$OA$是半径，所以$OA=5$。
在直角三角形$OAC$中，根据勾股定理，我们有：
$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$，
由于M是弦AB上的一个动点，根据点到直线的距离性质，我们知道线段$OM$的最小值就是点O到弦AB的垂线段$OC$的长度，即3。
【答案】：3。

6. [教材$P_{90}习题T_{9}$变式]如图,AB是$\odot O$的弦,C,D为直线AB上的两点,$OC= OD$. 求证:$AC= BD$.

答案： 证明：过点O作OE⊥AB于点E，
则AE=BE（垂直于弦的直径平分弦）。
∵OC=OD，OE⊥CD，
∴CE=DE（等腰三角形三线合一）。
∵CE=AC+AE，DE=BD+BE，
∴AC+AE=BD+BE。
又
∵AE=BE，
∴AC=BD。

7. 如图,OA,OB,OC都是$\odot O$的半径,AC与OB交于点D.若$AD= CD= 8,OD= 6$,则BD的长为 (B)
A.5
B.4
C.3
D.2

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理的推论得出$OD\perp AC$，再利用勾股定理求出半径$OA$的长度，最后根据$BD = OB - OD$求出$BD$的长。
步骤一：根据垂径定理的推论判断$OD$与$AC$的位置关系
已知$OA$，$OC$是$\odot O$的半径，$AD = CD$，根据垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，可知$OD\perp AC$。
步骤二：利用勾股定理求出半径$OA$的长度
在$Rt\triangle AOD$中，$AD = 8$，$OD = 6$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），可得：
$OA=\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10$
因为$OB$是$\odot O$的半径，所以$OB = OA = 10$。
步骤三：计算$BD$的长
已知$OB = 10$，$OD = 6$，根据$BD = OB - OD$，可得：
$BD = 10 - 6 = 4$
【答案】：B

8. 如图,$\odot O的直径CD= 10cm$,AB是$\odot O$的弦,AB与CD交于点M,$AM= BM,OM:OC= 3:5$,则$AB= $8cm.

答案： 【解析】：本题考查的知识点是垂径定理，通过垂径定理求出线段长度。
已知直径$CD = 10cm$，则半径$OC=\frac{1}{2}CD = 5cm$。
因为$OM:OC = 3:5$，所以$OM=\frac{3}{5}×5 = 3cm$。
由于$CD$是$\odot O$的直径，$AB$是$\odot O$的弦，且$AM = BM$，根据垂径定理可知$CD\perp AB$。
在$Rt\triangle AOM$中，$OA = OC = 5cm$，$OM = 3cm$，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边），可得：
$AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4cm$。
因为$AB = 2AM$，所以$AB = 2×4 = 8cm$。
【答案】：$8cm$

9. 如图,圆形拱门最下端AB在地面上,D为AB的中点,C为拱门最高点,线段CD经过拱门所在圆的圆心O,若$AB= 1m,CD= 2.5m$,则拱门所在圆的半径为 (B)
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m

答案： 【解析】：本题可根据垂径定理和勾股定理来求解拱门所在圆的半径。
设拱门所在圆的半径为$R$米。
因为$D$为$AB$的中点，$CD$经过圆心$O$，根据垂径定理可知$AD = \frac{1}{2}AB$，已知$AB = 1$米，所以$AD=\frac{1}{2}×1 = 0.5$米。
又因为$CD = 2.5$米，所以$OD=(2.5 - R)$米。
在$Rt\triangle AOD$中，根据勾股定理$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，其中$OA = R$，$AD = 0.5$米，$OD=(2.5 - R)$米，可列出方程：
$R^{2}=0.5^{2}+(2.5 - R)^{2}$
展开方程右边可得：
$R^{2}=0.25 + 6.25 - 5R + R^{2}$
移项可得：
$5R=0.25 + 6.25$
$5R = 6.5$
解得$R = 1.3$米。
【答案】：B