《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

10. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2}+bx + c经过点(-1,0)$,对称轴为直线$x = 1$. 当$y\lt0$时,x的取值范围是(D)
A.$x\lt1$
B.$x\lt-1$
C.$-1\lt x\lt1$
D.$x\lt-1或x\gt3$

答案： D

11. 如图,一次函数$y_{1}= kx + n与二次函数y_{2}= ax^{2}+bx + c的图象相交于A(-1,5)$,$B(9,2)$两点,则关于x的不等式$kx + n\geq ax^{2}+bx + c$的解集为(A)
A.$-1\leq x\leq9$
B.$-1\leq x\lt9$
C.$-1\lt x\leq9$
D.$x\leq-1或x\geq9$

答案： A

12. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c$($a\neq0$,a,b,c为常数)的图象如图所示,则方程$ax^{2}+bx + c = m$有一正实数根和一负实数根的条件是(A)
A.$m\gt5$
B.$m\geq0$
C.$m\geq-4$
D.$m\geq6$

答案： A

13. [2025南京月考]二次函数$y = ax^{2}+bx$的图象如图所示,若一元二次方程$ax^{2}+bx + m = 0$有实数根,则m的最大值为(A)


A.1
B.-1
C.0
D.2

答案： A

14. [2024湖北中考]已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$(a,b,c为常数,$a\neq0$)的顶点坐标为$(-1,-2)$,与y轴的交点在x轴上方. 下列结论正确的是(C)
A.$a\lt0$
B.$c\lt0$
C.$a - b + c = - 2$
D.$b^{2}-4ac = 0$

答案： C

15. 新考法 分类讨论法已知函数$y = mx^{2}+3mx + m - 1$的图象与坐标轴恰有两个交点,则实数m的值为1或$-\frac{4}{5}$.

答案： 1或$-\frac{4}{5}$

16. 已知直线$l:y = kx + 1与抛物线y = x^{2}-4x$.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线的两个交点为A,B,O为原点,当$k = - 2$时,求$\triangle OAB$的面积.

答案：

(1)证明：联立，得$\left\{\begin{array}{l} y=kx+1\\ y=x^{2}-4x\end{array}\right.$
化简，得$x^{2}-(4+k)x - 1 = 0$
$\therefore \Delta =(4 + k)^{2}+4＞0$
∴直线l与该抛物线总有两个交点
(2)解：如图，过点A作$AF\perp x$轴于点F，过点B作$BE\perp x$轴于点E
当$k = - 2$时，$y = - 2x + 1$
$\therefore \left\{\begin{array}{l} y=x^{2}-4x\\ y=-2x + 1\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l} x = 1+\sqrt{2}\\ y = - 1 - 2\sqrt{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l} x = 1-\sqrt{2}\\ y = 2\sqrt{2}-1\end{array}\right.$
$\therefore A(1 - \sqrt{2},2\sqrt{2}-1)$，$B(1+\sqrt{2},-1 - 2\sqrt{2})$
$\therefore AF = 2\sqrt{2}-1$，$BE = 1 + 2\sqrt{2}$
易得直线$y = - 2x + 1$与x轴的交点C的坐标为$(\frac{1}{2},0)$，$\therefore OC=\frac{1}{2}$
$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}OC\cdot AF+\frac{1}{2}OC\cdot BE=\frac{1}{2}OC(AF + BE)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×(2\sqrt{2}-1 + 1 + 2\sqrt{2})=\sqrt{2}$

17. 已知二次函数$y = - x^{2}+4x + 5及一次函数y = - x + b$,将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方,图象的其余部分不变,得到一个新图象(如图所示),当直线$y = - x + b$与新图象有4个交点时,b的取值范围是$-\frac{29}{4}＜b＜-1$.

答案： $-\frac{29}{4}＜b＜-1$