《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

9. [2024广元中考]如图,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,若CD= 3,BC= 1,则AD的长为 (A)

A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{10}$
C.2
D.$2\sqrt{2}$

答案： A

10. [2024天津中考]如图,△ABC中,∠B= 30°,将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,延长BA交DE于点F,下列结论一定正确的是 (D)

A.∠ACB= ∠ACD
B.AC//DE
C.AB= EF
D.BF⊥CE

答案： D

11. 如图,直线$y= -\frac{4}{3}x+4$与x轴、y轴分别交于A,B两点,把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO'B',则点B'的坐标是 (D)
A.(3,4)
B.(4,5)
C.(7,4)
D.(7,3)

答案： D

12. [2024北京中考节选]如图,已知∠MAN= α(0°＜α＜45°),点B,C分别在射线AN,AM上,将线段BC绕点B顺时针旋转180°-2α得到线段BD,过点D作AN的垂线交射线AM于点E. 当点D在射线AN上时,求证：C是AE的中点.

答案： 证明:连接CD.由题意得BC=BD,∠CBD=180°−2α,
∴∠BDC=∠BCD,
∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°,
∴∠BDC=$\frac{180°−(180°−2α)}{2}$=α,
∴∠BDC=∠A,
∴CA=CD.
∵DE⊥AN,
∴∠AED+∠A=∠CDE+∠BDC=90°,
∴∠AED=∠CDE,
∴CD=CE,
∴CA=CE,
∴C是AE的中点

13. 核心素养推理能力阅读下面材料,并解决问题：
(1)如图①,等边三角形ABC内有一点P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数. 为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,此时△ACP'≌△ABP,连接PP',这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA,PB,PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= 150°；

(2)如图②,在△ABC中,∠CAB= 90°,AB= AC,E,F为BC上的点,且∠EAF= 45°,求证：$EF^2= BE^2+FC^2；$
证明:如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',连接E'F,由旋转的性质,得AE'=AE,CE'=BE,∠ACE'=∠B,∠EAE'=90°.∵∠EAF=45°,∴∠E'AF=90°−45°=45°,∴∠EAF=∠E'AF.又∵AF=AF,∴△EAF≌△E'AF,∴E'F=EF.∵∠CAB=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠ACE'=45°,∴∠E'CF=45°+45°=90°,由勾股定理,得E'F²=CE'²+FC²,∴EF²=BE²+FC².
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC= 1,∠ABC= 30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC= ∠COB= ∠BOA= 120°,直接写出OA+OB+OC的值.$\sqrt{7}$

答案：
(1)150°
(2)证明:如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',连接E'F,由旋转的性质,得AE'=AE,CE'=BE,∠ACE'=∠B,∠EAE'=90°.
∵∠EAF=45°,
∴∠E'AF=90°−45°=45°,
∴∠EAF=∠E'AF.又
∵AF=AF,
∴△EAF≌△E'AF,
∴E'F=EF.
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ACE'=45°,
∴∠E'CF=45°+45°=90°,由勾股定理,得E'F²=CE'²+FC²,
∴EF²=BE²+FC².
(3)解:OA+OB+OC的值为$\sqrt{7}$