《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

3. 如图,在等腰直角三角形$ABC$中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$AB = AC$,点$M$,$N在边BC$上,且$\angle MAN = 45^{\circ}$,$BM = 1$,$CN = 3$,求$MN$的长.

答案：
3.解:如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°,得到△ACD,则CD=BM=1,∠BAM=∠CAD,AM=AD,∠B=∠ACD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ACD=45°.连接ND,则∠NCD=90°.
∵∠BAC=90°,∠MAN=45°,
∴∠BAM+∠CAN=45°，
∴∠DAC+∠CAN=45°，即∠NAM=∠NAD=45°.
又
∵AN=AN,
∴△ANM≌△AND,
∴MN=ND.
∵在Rt△CDN中，由勾股定理，得ND=$\sqrt{CD²+CN²}$=$\sqrt{1²+3²}$=$\sqrt{10}$,
∴MN=$\sqrt{10}$

4. [2025泉州期末]如图①,点$M$,$N分别在正方形ABCD的边BC$,$CD$上,$\angle MAN = 45^{\circ}$,连接$MN$.
(1)求证：$MN = BM + DN$.下面提供解题思路,请填空：
如图②,把$\triangle ADN绕点A$顺时针旋转______度得到$\triangle ABE$,可使$AD与AB$重合.
由$\angle EBC = \angle ABE + \angle ABC = 180^{\circ}$,知$E$,$B$,$C$三点共线,通过证明$\triangle AEM\cong$______,从而得到$MN = BM + DN$.
(2)当$\angle MAN绕点A$旋转到如图③的位置时,线段$BM$,$DN和MN$之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想,并证明.

答案：
4.解:
(1)90;△ANM
(2)MN=DN−BM.
证明:如图，在DC上取一点G,使DG=BM,连接AG,
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD,∠ABM=∠ADG=90°.
又
∵BM=DG,
∴△ABM≌△ADG(SAS),
∴AM=AG,∠MAB=∠GAD.
∵∠MAN=∠BAM+∠BAN=45°,
∴∠GAD+∠BAN=45°,
∴∠GAN=45°,即∠MAN=∠GAN.又
∵AN=AN,
∴△MAN≌△GAN(SAS),
∴MN=NG=DN−DG=DN−BM.