《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^{2}= 7$； (2)$9 x^{2}-20= 5$；
(3)$(2 x+1)^{2}= 9$； (4)$4(2 y-3)^{2}= 9(y-1)^{2}$.

答案： 1. （1）
解：对于方程$x^{2}=7$，
根据直接开平方法$x = \pm\sqrt{a}$（$a\geq0$，这里$a = 7$），可得$x=\pm\sqrt{7}$，
即$x_{1}=\sqrt{7}$，$x_{2}=-\sqrt{7}$。
2. （2）
解：首先对$9x^{2}-20 = 5$进行变形，
移项得$9x^{2}=5 + 20$，
即$9x^{2}=25$，
两边同时除以$9$得$x^{2}=\frac{25}{9}$，
根据直接开平方法$x=\pm\sqrt{\frac{25}{9}}$，
所以$x=\pm\frac{5}{3}$，即$x_{1}=\frac{5}{3}$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$。
3. （3）
解：对于方程$(2x + 1)^{2}=9$，
根据直接开平方法$A^{2}=B$（$B\geq0$），则$A=\pm\sqrt{B}$，这里$A = 2x+1$，$B = 9$，
所以$2x+1=\pm3$。
当$2x+1 = 3$时，
移项得$2x=3 - 1$，
即$2x=2$，解得$x = 1$；
当$2x+1=-3$时，
移项得$2x=-3 - 1$，
即$2x=-4$，解得$x=-2$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$。
4. （4）
解：对于方程$4(2y - 3)^{2}=9(y - 1)^{2}$，
两边同时开平方得$2(2y - 3)=\pm3(y - 1)$。
当$2(2y - 3)=3(y - 1)$时，
去括号得$4y-6 = 3y-3$，
移项得$4y-3y=-3 + 6$，
解得$y = 3$；
当$2(2y - 3)=-3(y - 1)$时，
去括号得$4y-6=-3y + 3$，
移项得$4y+3y=3 + 6$，
合并同类项得$7y=9$，
解得$y=\frac{9}{7}$。
所以$y_{1}=3$，$y_{2}=\frac{9}{7}$。
综上，（1）$x_{1}=\sqrt{7}$，$x_{2}=-\sqrt{7}$；（2）$x_{1}=\frac{5}{3}$，$x_{2}=-\frac{5}{3}$；（3）$x_{1}=1$，$x_{2}=-2$；（4）$y_{1}=3$，$y_{2}=\frac{9}{7}$。

2. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}= 7 x$； (2)$x^{2}-5 x+6= 0$；
(3)$x(2 x+1)= 3(2 x+1)$；
(4)$9 x^{2}-(x-1)^{2}= 0$；

答案： 【解析】：
本题主要考察因式分解法解一元二次方程的知识点。
对于每个小题，我们需要先将方程化为标准形式，然后通过因式分解法求解。
(1)对于方程$x^{2}= 7x$，可以移项得到$x^{2} - 7x = 0$，然后提取公因式x进行因式分解。
(2)对于方程$x^{2}-5x+6=0$，需要找到两个数，它们的和为-5，它们的乘积为6，这两个数是-2和-3，因此方程可以分解为$(x-2)(x-3)=0$。
(3)对于方程$x(2x+1)=3(2x+1)$，可以先将等式右边的项移到左边，得到$x(2x+1)-3(2x+1)=0$，然后提取公因式$(2x+1)$进行因式分解。
(4)对于方程$9x^{2}-(x-1)^{2}=0$，可以利用平方差公式$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$进行因式分解。
【答案】：
(1)解：
$x^{2} - 7x = 0$
$x(x - 7) = 0$
解得：$x_{1} = 0$，$x_{2} = 7$
(2)解：
$x^{2}-5x+6=0$
$(x-2)(x-3)=0$
解得：$x_{1} = 2$，$x_{2} = 3$
(3)解：
$x(2x+1)-3(2x+1)=0$
$(2x+1)(x-3)=0$
解得：$x_{1} = -\frac{1}{2}$，$x_{2} = 3$
(4)解：
$9x^{2}-(x-1)^{2}=0$
利用平方差公式得：
$(3x+x-1)(3x-x+1)=0$
$(4x-1)(2x+1)=0$
解得：$x_{1} = \frac{1}{4}$，$x_{2} = -\frac{1}{2}$

3. 用配方法解下列方程：
(1)[2024安徽中考]$x^{2}-2 x= 3$；
(2)$x^{2}-6 x-9991= 0$.

答案： $(1)$ 解方程$x^{2}-2x = 3$
解：
在方程$x^{2}-2x = 3$两边同时加$1$（一次项系数一半的平方，$(\frac{-2}{2})^2 = 1$），得到：
$x^{2}-2x + 1=3 + 1$
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 1$，则$(x - 1)^{2}=4$。
两边开平方得$x - 1=\pm2$。
当$x - 1 = 2$时，$x=2 + 1=3$；
当$x - 1=-2$时，$x=-2 + 1=-1$。
所以$x_{1}=3$，$x_{2}=-1$。
$(2)$ 解方程$x^{2}-6x-9991 = 0$
解：
首先将方程变形为$x^{2}-6x=9991$。
在方程两边同时加$9$（一次项系数一半的平方，$(\frac{-6}{2})^2 = 9$），得到：
$x^{2}-6x + 9=9991 + 9$
根据完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，这里$a = x$，$b = 3$，则$(x - 3)^{2}=10000$。
两边开平方得$x - 3=\pm100$。
当$x - 3 = 100$时，$x=100 + 3=103$；
当$x - 3=-100$时，$x=-100 + 3=-97$。
所以$x_{1}=103$，$x_{2}=-97$。
综上，$(1)$中方程的解为$\boldsymbol{x_{1}=3,x_{2}=-1}$；$(2)$中方程的解为$\boldsymbol{x_{1}=103,x_{2}=-97}$。

4. 用公式法解下列方程：
(1)$5 x^{2}-2 \sqrt{5} x+1= 0$；
(2)$(x-2)(3 x-5)= 1$；
(3)$4 x^{2}-3 x-5= x-2$.

答案： $(1)$ 解方程$5x^{2}-2\sqrt{5}x + 1 = 0$
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0)$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$。
在方程$5x^{2}-2\sqrt{5}x + 1 = 0$中，$a = 5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c = 1$。
先计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-2\sqrt{5})^{2}-4×5×1$
$=20 - 20=0$。
将$a$、$b$、$\Delta$的值代入求根公式可得：
$x=\frac{-(-2\sqrt{5})\pm\sqrt{0}}{2×5}=\frac{2\sqrt{5}}{10}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
所以$x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
$(2)$ 解方程$(x - 2)(3x - 5)=1$
先将方程化为一般形式：
$\begin{aligned}(x - 2)(3x - 5)&=1\\3x^{2}-5x-6x + 10&=1\\3x^{2}-11x + 9&=0\end{aligned}$
这里$a = 3$，$b=-11$，$c = 9$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-11)^{2}-4×3×9$
$=121-108 = 13$。
再代入求根公式：
$x=\frac{-(-11)\pm\sqrt{13}}{2×3}=\frac{11\pm\sqrt{13}}{6}$。
即$x_{1}=\frac{11+\sqrt{13}}{6}$，$x_{2}=\frac{11-\sqrt{13}}{6}$。
$(3)$ 解方程$4x^{2}-3x - 5=x - 2$
化为一般形式：
$\begin{aligned}4x^{2}-3x - 5&=x - 2\\4x^{2}-4x - 3&=0\end{aligned}$
其中$a = 4$，$b=-4$，$c=-3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×4×(-3)$
$=16 + 48=64$。
代入求根公式：
$x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{64}}{2×4}=\frac{4\pm8}{8}$。
则$x_{1}=\frac{4 + 8}{8}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=\frac{4-8}{8}=-\frac{1}{2}$。
综上，$(1)$$\boldsymbol{x_{1}=x_{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}}$；$(2)$$\boldsymbol{x_{1}=\frac{11+\sqrt{13}}{6},x_{2}=\frac{11-\sqrt{13}}{6}}$；$(3)$$\boldsymbol{x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-\frac{1}{2}}$。