《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

13. [2024江西中考]如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用抛物线$ y = ax^{2} + bx(a ＜ 0) $刻画,斜坡可以用直线$ y = \frac{1}{4}x $刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如下表：
| x | 0 | 1 | 2 | m | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| y | 0 | $ \frac{7}{2} $ | 6 | $ \frac{15}{2} $ | 8 | $ \frac{15}{2} $ | n | $ \frac{7}{2} $ | … |
(1)①$ m = $3,$ n = $6；
②小球的落点是A,求点A的坐标.解：将$x=1,y=\frac{7}{2};x=2,y=6$分别代入$y=ax^2+bx$，得$\begin{cases}a+b=\frac{7}{2}, \\ 4a+2b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}, \\ b=4,\end{cases}$∴$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$．联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x^2+4x, \\ y=\frac{1}{4}x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0, \\ y=0\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{15}{2}, \\ y=\frac{15}{8},\end{cases}$∴点A的坐标是$(\frac{15}{2},\frac{15}{8})$．
(2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系：$ y = - 5t^{2} + vt $.
①小球飞行的最大高度为8米；
②求v的值.解：$y=-5t^2+vt=-5(t-\frac{v}{10})^2+\frac{v^2}{20}$，则$\frac{v^2}{20}=8$，解得$v=4\sqrt{10}$(负值已舍去)．

答案： 解：
(1)①3；6
②将$x=1,y=\frac{7}{2};x=2,y=6$分别代入$y=ax^2+bx$，得$\begin{cases}a+b=\frac{7}{2}, \\ 4a+2b=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-\frac{1}{2}, \\ b=4,\end{cases}$
∴$y=-\frac{1}{2}x^2+4x$．联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x^2+4x, \\ y=\frac{1}{4}x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=0, \\ y=0\end{cases}$或$\begin{cases}x=\frac{15}{2}, \\ y=\frac{15}{8},\end{cases}$
∴点A的坐标是$(\frac{15}{2},\frac{15}{8})$．
(2)①8
②$y=-5t^2+vt=-5(t-\frac{v}{10})^2+\frac{v^2}{20}$，则$\frac{v^2}{20}=8$，解得$v=4\sqrt{10}$(负值已舍去)．

14. [2025济宁期末]已知二次函数$ y = ax^{2} - 6ax + 6a $,若当$ 2 \leqslant x \leqslant 5 $时,y的最大值是3,则a的值为______3或-1.

答案： 3或-1

15. 函数$ y = ax^{2} + bx + c $的图象如图所示,关于x的一元二次方程$ ax^{2} + bx = 4 - c $的根的情况是(A)
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.以上都不对
]

答案： A

16. [2024遂宁中考]某酒店有A,B两种客房,其中A种24间,B种20间.若全部入住,一天营业额为7200元；若A,B两种客房均有10间入住,一天营业额为3200元.
(1)求A,B两种客房每间定价分别是多少元.
(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价,房间可全部住满；如果每间房间定价每增加10元,就会有一间房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时,A种客房一天的营业额W最大？最大营业额为多少元？

答案： 解：
(1)设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，由题意得$\begin{cases}24x+20y=7200, \\ 10x+10y=3200,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=200, \\ y=120.\end{cases}$答：A种客房每间定价为200元，B种客房每间定价为120元．
(2)设A种客房每间定价为a元，则$W=(24-\frac{a-200}{10})a=-\frac{1}{10}a^2+44a=-\frac{1}{10}(a-220)^2+4840$，
∵$-\frac{1}{10}＜0$，
∴当$a=220$时，W取最大值，最大值为4840．答：当A种客房每间定价为220元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为4840元．