《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

18. 如图,在平面直角坐标系中,$△ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,1)$,$B(4,1)$,$C(5,3)$.
(1)$△A_{1}B_{1}C_{1}与△ABC$关于y轴对称,画出$△A_{1}B_{1}C_{1}$,并写出点$A_{1}$,$B_{1}$的坐标；
(2)画出$△ABC$关于原点O成中心对称的$△A_{2}B_{2}C_{2}$；
(3)在x轴上找一点P,使得点P到点A,C的距离之和最小,并写出点P的坐标.

答案：
解：
(1)如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求.
$A_{1}(-1,1)$，$B_{1}(-4,1)$.
(2)如图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求.
(3)如图，作点A关于x轴的对称点$A'$，连接$A'C$，$A'C$与x轴的交点即为点P.点P的坐标为$(2,0)$.

19. 如图,在$△ABC和△ADE$中,$AB= AC$,$∠BAC= ∠DAE= 40^{\circ }$,将$△ADE$绕点A顺时针旋转一定角度,当$AD⊥BC$时,求$∠BAE$的度数.

答案：
解：分以下两种情况：如图①，当$AD\perp BC$时，延长AD交BC于J，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=\angle DAE=40^{\circ}$，$\therefore \angle BAJ=\angle CAJ=20^{\circ}$，$\therefore \angle BAE=20^{\circ}+40^{\circ}=60^{\circ}$；

如图②，当$AD\perp BC$时，延长DA交BC于K，
$\because AB=AC$，$\angle BAC=\angle DAE=40^{\circ}$，$\therefore \angle BAK=\angle CAK=20^{\circ}$，$\therefore \angle BAE=180^{\circ}-20^{\circ}-40^{\circ}=120^{\circ}$.
综上所述，$\angle BAE$的度数是$60^{\circ}$或$120^{\circ}$.

20. 如图,在$△ABC$中,$∠B= 45^{\circ }$,$∠C= 60^{\circ }$,将$△ABC$绕点A旋转$30^{\circ }后得到△AB_{1}C_{1}$,求$∠BAC_{1}$的度数.

答案：
解：$\because \angle B=45^{\circ}$，$\angle C=60^{\circ}$，$\therefore \angle BAC=180^{\circ}-\angle B-\angle C=75^{\circ}$.
当$\triangle ABC$绕点A顺时针旋转$30^{\circ}$时，如图①，由旋转的性质，得$\angle B_{1}AC_{1}=\angle BAC=75^{\circ}$，$\angle B_{1}AB=30^{\circ}$，$\therefore \angle BAC_{1}=75^{\circ}-30^{\circ}=45^{\circ}$.
当$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转$30^{\circ}$时，如图②，

由旋转的性质，得$\angle CAC_{1}=30^{\circ}$，$\therefore \angle BAC_{1}=75^{\circ}+30^{\circ}=105^{\circ}$.
综上所述，$\angle BAC_{1}$的度数为$45^{\circ}$或$105^{\circ}$.

21. 如图,正方形ECFD各顶点在$Rt△ABC$的边上,观察图形,并回答下列问题.
(1)请你说明由$△ADE变换到△A'DF$的过程；
(2)若$AD= 3$,$△AED与△BDF$的面积和为9,求线段BD的长.

答案： 解：
(1)$\triangle ADE$绕点D逆时针旋转$90^{\circ}$得到$\triangle A'DF$.
(2)$\because$四边形ECFD是正方形，$\therefore \angle EDF=90^{\circ}$，$\therefore \angle ADE+\angle FDB=90^{\circ}$.
由
(1)可知$\triangle ADE\cong \triangle A'DF$，$\therefore S_{\triangle AED}=S_{\triangle A'FD}$，$\angle ADE=\angle A'DF$，$A'D=AD=3$.
$\therefore \angle A'DF+\angle FDB=90^{\circ}$，即$\angle A'DB=90^{\circ}$.
易知$\angle AED=\angle A'FD=\angle DFB=90^{\circ}$，$\therefore \angle DFB+\angle A'FD=180^{\circ}$，$\therefore A'$，$F$，$B$三点共线.
$\therefore S_{\triangle A'DB}=S_{\triangle A'FD}+S_{\triangle BDF}=S_{\triangle AED}+S_{\triangle BDF}=9$，$\therefore \frac{1}{2}A'D\cdot BD=9$，$\therefore BD=6$.