《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

11. 若关于x的方程$(ax-1)^{2}-16= 0$的一个根是2,则a的值为(D)
A.$\frac {5}{2}$
B.$-\frac {3}{2}$
C.$-\frac {5}{2}或\frac {3}{2}$
D.$\frac {5}{2}或-\frac {3}{2}$

答案： 【解析】：
首先，我们将原方程$(ax-1)^{2}-16= 0$，进行移项，得到$(ax - 1)^{2} = 16$。
接着，我们对方程两边同时开平方，得到$ax - 1 = \pm 4$。
然后，我们将方程改写为$ax = 1 \pm 4$，即$ax = 5$或$ax = -3$。
由于题目给出$x=2$是方程的一个根，我们可以将$x=2$代入上述两个方程中求解$a$。
当$ax = 5$时，代入$x=2$，得到$2a = 5$，解得$a = \frac{5}{2}$。
当$ax = -3$时，代入$x=2$，得到$2a = -3$，解得$a = -\frac{3}{2}$。
所以，我们得到$a$的两个可能值$\frac{5}{2}$和$-\frac{3}{2}$。
【答案】：
D. $\frac {5}{2}$或$-\frac {3}{2}$。

12. [2025杭州西湖区期中]若一元二次方程$ax^{2}= 1(a＞0)的两根分别是m+1与2m-4$,则这两根分别是(C)
A.1,4
B.1,-1
C.2,-2
D.3,0

答案： 【解析】：
本题考查了一元二次方程的直接开平方法。
首先，我们将原方程$ax^{2} = 1$转化为标准形式，
即$x^{2} = \frac{1}{a}$。
由于$a ＞ 0$，
所以$\frac{1}{a} ＞ 0$，
方程有两个实数解，
分别为$x = \pm \sqrt{\frac{1}{a}}$。
根据题目条件，这两个解分别是$m+1$和$2m-4$。
所以我们有方程组：
$\begin{cases}m + 1 = \sqrt{\frac{1}{a}}, \\2m - 4 = -\sqrt{\frac{1}{a}}.\end{cases}$或$\begin{cases}m + 1 = -\sqrt{\frac{1}{a}}, \\2m - 4 = \sqrt{\frac{1}{a}}.\end{cases}$
解第一个方程组，
将两个方程相加，得到：
$m + 1 + 2m - 4 = 0$
$3m - 3 = 0$
$m = 1$
将$m = 1$代入$m + 1 = \sqrt{\frac{1}{a}}$，
得到：
$1 + 1 = \sqrt{\frac{1}{a}}$
$2 = \sqrt{\frac{1}{a}}$
$a = \frac{1}{4}$
所以，原方程为$\frac{1}{4}x^{2} = 1$，
解得$x = \pm 2$。
即$m+1=2$，$2m-4=-2$，
将$m = 1$代入可得：
两根分别为$x_1=2$，$x_2=-2$；
解第二个方程组，
将两个方程相加，得到：
$m + 1 + 2m - 4 = 0$
$3m - 3 = 0$
$m = 1$
将$m = 1$代入$m + 1 = -\sqrt{\frac{1}{a}}$，
得到：
$1 + 1 = -\sqrt{\frac{1}{a}}$
$2 = -\sqrt{\frac{1}{a}}$
由于$a＞0$，
则$\sqrt{\frac{1}{a}}＞0$，
所以该方程无解，
需要舍去此情况。
综上所述，答案为C。
【答案】：C。

13. 已知某三角形的两边长分别是5和6,第三边的长是方程$(x-3)^{2}= 4$的根,则此三角形的周长为(C)
A.18
B.12
C.16
D.12或16

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的解法以及三角形的三边关系。
首先，我们需要解方程$(x-3)^{2}= 4$来找出第三边的可能长度。
这个方程可以通过直接开平方法来解。
然后，我们需要考虑解出的$x$值是否能与已知的两边5和6构成三角形。
根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
最后，我们计算出满足条件的三角形的周长。
解方程$(x-3)^{2}= 4$，
开平方得：
$x-3=\pm2$，
解得：
$x_{1}=5$，$x_{2}=1$，
当$x=1$时，$5+1=6$，不满足三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边），因此$x=1$需要舍去。
当$x=5$时，可以构成三角形，三角形的三边分别为5，5，6，满足三角形的三边关系。
因此，三角形的周长为$5+5+6=16$。
【答案】：C.16。

14. 新考法 整体思想 已知$(a+b+3)(a+b-3)= 72$,则$a+b= $$\pm 9$.

答案： 【解析】：
本题主要考查了整体思想以及平方差公式的应用。
首先，我们可以将原式$(a+b+3)(a+b-3)= 72$看作是一个平方差的形式，
即$\lbrack(a + b) + 3\rbrack\lbrack(a + b) - 3\rbrack = 72$。
根据平方差公式，我们可以将其化简为：
$(a + b)^{2} - 3^{2} = 72$
即：
$(a + b)^{2} = 81$
接下来，我们对方程两边同时开平方，得到：
$a + b = \pm 9$
【答案】：
$a+b= \pm 9$

15. 解下列方程:
(1)$x^{2}-6x+9= 3;$
(2)$4x^{2}+12x+9= 0;$
(3)$9(2x+1)^{2}-1= 19;$
(4)$4(x+3)^{2}= 25(x-2)^{2}.$

答案： 【解析】：
本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识点。
对于形如$(ax+b)^{2}=c$的方程，我们可以直接对方程两边同时开平方来求解。
(1) 对于方程 $x^{2}-6x+9= 3$，
我们可以先将它转化为完全平方的形式，即 $(x-3)^{2} = 3$，
然后直接开平方求解。
(2) 对于方程 $4x^{2}+12x+9= 0$，
同样先将它转化为完全平方的形式，即 $(2x+3)^{2} = 0$，
然后直接开平方求解。
(3) 对于方程 $9(2x+1)^{2}-1= 19$，
我们先将方程整理为 $(2x+1)^{2} = \frac{20}{9}$，
然后直接开平方求解。
(4) 对于方程 $4(x+3)^{2}= 25(x-2)^{2}$，
我们可以直接开平方，得到 $2(x+3) = \pm 5(x-2)$，
然后分别求解两个一元一次方程。
【答案】：
(1) 解：
原方程可化为 $(x-3)^{2} = 3$，
开平方得 $x-3 = \pm \sqrt{3}$，
所以 $x_{1} = 3 + \sqrt{3}$，$x_{2} = 3 - \sqrt{3}$。
(2) 解：
原方程可化为 $(2x+3)^{2} = 0$，
开平方得 $2x+3 = 0$，
所以 $x_{1} = x_{2} = -\frac{3}{2}$。
(3) 解：
原方程可化为 $(2x+1)^{2} = \frac{20}{9}$，
开平方得 $2x+1 = \pm \frac{2\sqrt{5}}{3}$，
所以 $x_{1} = \frac{-3+2\sqrt{5}}{6}$，$x_{2} = \frac{-3-2\sqrt{5}}{6}$，
也可以写成 $x_{1} = \frac{2\sqrt{5}-3}{6}$，$x_{2} = \frac{-2\sqrt{5}-3}{6}$。
(4) 解：
原方程可化为 $2(x+3) = \pm 5(x-2)$，
分两种情况考虑：
当 $2(x+3) = 5(x-2)$ 时，解得 $x = \frac{16}{3}$；
当 $2(x+3) = -5(x-2)$ 时，解得 $x = \frac{4}{7}$。
所以 $x_{1} = \frac{16}{3}$，$x_{2} = \frac{4}{7}$。

16. 新考法 换元法 【阅读】小明同学遇到这样一个问题:已知关于x的一元二次方程$a(x+m)^{2}+b= 0的两个根是x_{1}= -3,x_{2}= 2$,求关于x的一元二次方程$a(x+m+1)^{2}+b= 0$的根.他用“换元法”解决了这个问题.我们一起来看看小明同学的具体做法.
解:在方程$a(x+m+1)^{2}+b= 0$中,令$y= x+1$,则方程可变形为$a(y+m)^{2}+b= 0.$
根据关于x的一元二次方程$a(x+m)^{2}+b= 0的两个

根

是

x_{1}= -3,x_{2}= 2,$
可得方程$a(y+m)^{2}+b= 0的两个根是y_{1}= -3,y_{2}= 2.$
把$y= -3代入y= x+1$,得$x= -4;$
把$y= 2代入y= x+1$,得$x= 1.$
所以方程$a(x+m+1)^{2}+b= 0的两个根是x_{1}= -4,x_{2}= 1.$
【应用】若关于x的一元二次方程$a(x+m)^{2}+n= 0的两个根是x_{1}= -2,x_{2}= 1$,求关于x的一元二次方程$a(x+m-2026)^{2}+n= 0$的根.

答案： 【解析】：
本题主要考察一元二次方程的换元法求解。
首先，我们观察给定的方程$a(x+m-2026)^{2}+n= 0$，发现它可以通过换元法转化为已知方程的形式。
令$y = x - 2026$，则原方程可变形为$a(y+m)^{2}+n= 0$。
根据题目已知，方程$a(x+m)^{2}+n= 0$的两个根是$x_{1}= -2, x_{2}= 1$。
因此，新方程$a(y+m)^{2}+n= 0$的两个根也应该是$y_{1}= -2, y_{2}= 1$。
接下来，我们需要将$y$的值代回原变量$x$，即解方程$x - 2026 = y$。
解得：
当$y = -2$时，$x = -2 + 2026 = 2024$；
当$y = 1$时，$x = 1 + 2026 = 2027$。
所以，方程$a(x+m-2026)^{2}+n= 0$的两个根是$x_{1}= 2024, x_{2}= 2027$。
【答案】：
$x_{1}= 2024, x_{2}= 2027$