《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. 如图,已知抛物线$y_{1}= -x^{2}+bx+c和直线y_{2}= \frac {1}{2}x+\frac {5}{2}相交于点A(-1,m)和B(n,4).$
(1)$m=$2,$n=$3,方程$\frac {1}{2}x+\frac {5}{2}= -x^{2}+bx+c$的解为$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$；
(2)抛物线的解析式为$y_{1}=-x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{11}{2}$；
(3)不等式$y_{1}\lt y_{2}$的解集是$x＜-1$或$x＞3$,不等式$y_{1}＞y_{2}$的解集是$-1＜x＜3$；
(4)将直线$y_{2}= \frac {1}{2}x+\frac {5}{2}沿y$轴向上平移,使得平移后的直线与抛物线只有一个交点,求向上平移了多少个单位长度.
设平移后的直线的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}+k$，
令$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}+k=-x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{11}{2}$，
整理得$x^{2}-2x+k-3=0$，
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(k-3)=0$，
解得$k=4$．
∴向上平移了4个单位长度．

答案： 1. 解：
(1)2；3；$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
(2)$y_{1}=-x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{11}{2}$
(3)$x＜-1$或$x＞3$；$-1＜x＜3$
(4)设平移后的直线的解析式为$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}+k$，
令$\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}+k=-x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{11}{2}$，
整理得$x^{2}-2x+k-3=0$，
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(k-3)=0$，
解得$k=4$．
∴向上平移了4个单位长度．

2. [2025宜昌期中]如图,抛物线$y= x^{2}-2x-3交x轴于A$,$B$两点,交$y轴于点C$.
(1)求点$A$,$B$,$C$的坐标；
(2)将图象在$x轴下方的部分沿x$轴翻折,翻折后的部分与原图象其余部分组成一个新图象,若直线$y= m$与新图象有四个交点,求$m$的取值范围.

答案： 2. 解：
(1)对于$y=x^{2}-2x-3$，
当$y=0$时，$x^{2}-2x-3=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3$，
∴$A(-1,0)$，$B(3,0)$，
当$x=0$时，$y=-3$，
∴$C(0,-3)$．
(2)
∵$y=x^{2}-2x-3=(x-1)^{2}-4$，
∴抛物线的顶点坐标为$(1,-4)$，
将图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，
翻折后图象的顶点坐标为$(1,4)$，
∴若直线$y=m$与新图象有四个交点，
则m的取值范围为$0＜m＜4$．