《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

8. 新考向 传统文化廊桥是我国古老的文化遗产. 如图是某座抛物线形廊桥的示意图,已知水面$AB宽48m$,拱桥最高处点$C到水面AB的距离为12m$,为保护该桥的安全,现要在该拱桥上的点$E$,$F$处安装两盏警示灯,若要保证两盏灯的水平距离$EF是24m$,则警示灯$E距水面AB$的高度为9$m$.

答案： 9

9. 情境题 游戏活动型嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏. 某同学借此情境编写了一道数学题,请解答这道题. 如图,在平面直角坐标系中,一个单位长度代表$1m$长. 嘉嘉在点$A(6,1)$处将沙包(看成点)抛出,其运动路线为抛物线$C_{1}:y= a(x-3)^{2}+2$的一部分,淇淇恰在点$B(0,c)$处接住,然后跳起将沙包回传,其运动路线为抛物线$C_{2}:y= -\frac{1}{8}x^{2}+\frac{n}{8}x+c+1$的一部分.
(1)写出$C_{1}$的最高点的坐标,并求出$a$,$c$的值；
(2)若嘉嘉在$x轴上方1m$的高度上,且到点$A的水平距离不超过1m$的范围内可以接到沙包,求符合条件的$n$的整数值.
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答案： 解：（1）
∵抛物线$C_{1}:y=a(x-3)^{2}+2$，
∴$C_{1}$的最高点的坐标为(3,2).
∵点$A(6,1)$在抛物线$C_{1}:y=a(x-3)^{2}+2$上，
∴$1=a(6-3)^{2}+2$，
∴$a=-\frac {1}{9}$，
∴抛物线$C_{1}:y=-\frac {1}{9}(x-3)^{2}+2$，
当$x=0$时，$y=1$，即$c=1$.
（2）
∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A的水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，
∴接到沙包的点的纵坐标为1，横坐标的取值范围是$5≤x≤7$，
当接到沙包的点是(5,1)时，$1=-\frac {1}{8}×25+\frac {n}{8}×5+1+1$，解得$n=\frac {17}{5}$，
当接到沙包的点是(7,1)时，$1=-\frac {1}{8}×49+\frac {n}{8}×7+1+1$，解得$n=\frac {41}{7}$，
∴$\frac {17}{5}≤n≤\frac {41}{7}$.
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5.

10. [2024陕西中考]一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥. 桥梁的缆索$L_{1}与缆索L_{2}$均呈抛物线形,桥塔$AO与桥塔BC$均垂直于桥面,如图所示,以$O$为原点,以直线$FF'为x$轴,以桥塔$AO所在直线为y$轴,建立平面直角坐标系.
已知：缆索$L_{1}所在抛物线与缆索L_{2}所在抛物线关于y$轴对称,桥塔$AO与桥塔BC之间的距离OC= 100m$,$AO= BC= 17m$,缆索$L_{1}的最低点P到FF'的距离PD= 2m$. (桥塔的粗细忽略不计)
(1)求缆索$L_{1}$所在抛物线的解析式；
(2)点$E在缆索L_{2}$上,$EF\perp FF'$,且$EF= 2.6m$,$FO\lt OD$,求$FO$的长.
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答案： 解：（1）
∵$AO=17m$，
∴$A(0,17)$.
∵$OC=100m$，缆索$L_{1}$的最低点P到$FF'$的距离$PD=2m$，$OA=BC$，
∴易得缆索$L_{1}$所在抛物线的顶点P的坐标为(50,2).
∴可设缆索$L_{1}$所在抛物线的解析式为$y=a(x-50)^{2}+2$.
将点A的坐标代入抛物线的解析式，得$a(0-50)^{2}+2=17$，
∴$2500a+2=17$，解得$a=\frac {3}{500}$.
∴缆索$L_{1}$所在抛物线的解析式为$y=\frac {3}{500}(x-50)^{2}+2$.
（2）
∵缆索$L_{1}$所在抛物线与缆索$L_{2}$所在抛物线关于y轴对称，缆索$L_{1}$所在抛物线的解析式为$y=\frac {3}{500}(x-50)^{2}+2$，
∴缆索$L_{2}$所在抛物线的解析式为$y=\frac {3}{500}(x+50)^{2}+2$.
令$y=2.6$，则$2.6=\frac {3}{500}(x+50)^{2}+2$，
解得$x=-40$或$x=-60$.
∵$FO＜OD$，
∴$x=-40$.
∴FO的长为40m.