《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

13. (10分)[2025上海徐汇区期中]已知二次函数 $ y = 2(x - 1)(x - 3) $。
(1)用配方法把这个二次函数化为顶点式的形式,并写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)将该二次函数图象先向左平移4个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到的新图象的解析式为______。
[答案]：解：
(1)y=2(x-1)(x-3)=2($x^2$-4x+3)=2(x-2)$^2$-2，
∴这个函数图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2,-2).
(2)$y=2(x+2)^2$

答案： 解：
(1)y=2(x-1)(x-3)=2($x^2$-4x+3)=2(x-2)$^2$-2，
∴这个函数图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标是(2,-2).
(2)y=2(x+2)$^2$

14. (14分)新视角过程性学习九年级某班成立了数学学习兴趣小组,该小组对函数 $ y = |x^2 - 1| $ 的图象和性质进行探究,过程如下,请你补充完整。
(1)①列表：下表是 $ x $,$ y $ 的几组对应值,其中 $ m = $______,$ n = $______；
| $ x $ | …$ $ | $ -2 $ | $ -\frac{3}{2} $ | $ -1 $ | $ -\frac{1}{2} $ | $ 0 $ | $ \frac{1}{2} $ | $ 1 $ | $ \frac{3}{2} $ | $ 2 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 3 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ 0 $ | $ m $ | $ 1 $ | $ n $ | $ 0 $ | $ \frac{5}{4} $ | $ 3 $ | …$ $ |
②描点：根据表中的数值描点 $ (x, y) $,请在如图的坐标系中补充描出点 $ (-\frac{1}{2}, m) $,$ (\frac{1}{2}, n) $；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整。

(2)观察图象,当 $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大时,$ x $ 的取值范围为______。
(3)除了上述增减性,请你再写出两条该函数的图象特征或性质：
①______；
②______。
(4)若点 $ (p, a) $ 与 $ (q, b) $ 在此函数图象上,且 $ |q| ＜ |p| ＜ 1 $,则 $ a $ 与 $ b $ 的大小关系是______。
]

答案：
解：
(1)①$\frac{3}{4}$;$\frac{3}{4}$
②
(2)-1＜x＜0或x＞1
(3)①函数图象是轴对称图形
②函数值y都是非负数
（答案不唯一）
(4)a＜b

15. (16分)[2024福建中考]如图,已知二次函数 $ y = x^2 + bx + c $ 的图象与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中 $ A(-2, 0) $,$ C(0, -2) $。
(1)求二次函数的解析式；
(2)若 $ P $ 是二次函数图象上的一点,且点 $ P $ 在第二象限,线段 $ PC $ 交 $ x $ 轴于点 $ D $,$ \triangle PDB $ 的面积是 $ \triangle CDB $ 的面积的2倍,求点 $ P $ 的坐标。
]

答案： 解：
(1)将点A(-2,0),C(0,-2)的坐标分别代入y=$x^2$+bx+c，得$\begin{cases}4-2b+c=0, \\ c=-2, \end{cases}$解得$\begin{cases}b=1, \\ c=-2, \end{cases}$
∴二次函数的解析式为y=$x^2$+x-2.
(2)设P(m,n)，
∵点P在第二象限，
∴m＜0,n＞0.依题意，得$\frac{S_{\triangle PDB}}{S_{\triangle CDB}}$=2，即$\frac{\frac{1}{2}BD\cdot n}{\frac{1}{2}BD\cdot CO}$=2，
∴$\frac{n}{CO}$=2.由题意得CO=2，
∴n=2CO=4.由$m^2$+m-2=4，得$m_1$=-3,$m_2$=2（舍去），
∴点P的坐标为(-3,4).