《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

3. [2024德州中考]已知抛物线$y= x^{2}-4mx+2m+1$,$m$为实数.
(1)如果该抛物线经过点$(4,3)$,求此抛物线的顶点坐标；
(2)如果当$2m-3\leqslant x\leqslant 2m+1$时,$y$的最大值为4,求$m$的值；
(3)点$O(0,0)$,点$A(1,0)$,如果该抛物线与线段$OA$(不含端点)恰有一个交点,求$m$的取值范围.

答案： 3. 解：
(1)
∵该抛物线经过点$(4,3)$，
∴$3=4^{2}-16m+2m+1$，解得$m=1$，
∴$y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1$，
∴顶点坐标为$(2,-1)$．
(2)
∵$y=x^{2}-4mx+2m+1=(x-2m)^{2}-4m^{2}+2m+1$，
∴该抛物线的对称轴为直线$x=2m$，开口向上．
∵当$2m-3\leq x\leq2m+1$时，y的最大值为4，
∴易得当$x=2m-3$时，$y=4$，
∴$4=(2m-3-2m)^{2}-4m^{2}+2m+1$，
整理得$2m^{2}-m-3=0$，解得$m=\frac{3}{2}$或$m=-1$．
∴m的值为$\frac{3}{2}$或$-1$．
(3)
∵抛物线$y=x^{2}-4mx+2m+1$与线段OA恰有一个交点，
∴$\begin{cases}2m+1＞0,\\1-4m+2m+1＜0\end{cases}$或$\begin{cases}2m+1＜0,\\1-4m+2m+1＞0,\end{cases}$解得$m＞1$或$m＜-\frac{1}{2}$．
∴m的取值范围为$m＞1$或$m＜-\frac{1}{2}$．

4. [2024乐山中考]在平面直角坐标系$xOy$中,我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“完美点”.抛物线$y= ax^{2}-2ax+2a$($a为常数且a＞0$)与$y轴交于点A$.
(1)若$a= 1$,求抛物线的顶点坐标；
(2)若线段$OA$(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,求$a$的取值范围；
(3)若抛物线与直线$y= x交于M$,$N$两点,线段$MN$与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,求$a$的取值范围.

答案：
4.解:
(1)当$a=1$时,$y=x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1$.
∴顶点坐标为$(1,1)$.
(2)令$x=0$,则$y=2a$,
∴$A(0,2a)$.
∵线段OA(含端点)上的“完美点”个数大于3个且小于6个,
∴“完美点”的个数为4个或5个.
∵$a＞0$,
∴当“完美点”个数为4个时,分别为$(0,0)$,$(0,1)$,$(0,2)$,$(0,3)$;
当“完美点”个数为5个时,分别为$(0,0)$,$(0,1)$,$(0,2)$,$(0,3)$,$(0,4)$.
∴$3\leq2a＜5$,
∴a的取值范围是$\frac{3}{2}\leq a＜\frac{5}{2}$.
(3)
∵$y=ax^{2}-2ax+2a=a(x-1)^{2}+a$,
∴抛物线的顶点坐标为$(1,a)$,过点$P(2,2a)$,$Q(3,5a)$,$R(4,10a)$.
∵抛物线与直线$y=x$交于M,N两点,线段MN与抛物线围成的区域(含边界)内恰有4个“完美点”,
∴易得“完美点”$(1,1)$,$(2,2)$,$(3,3)$符合题意.
①当抛物线过点$(2,1)$时,解得$a=\frac{1}{2}$,
此时$P(2,1)$,$Q(3,\frac{5}{2})$,$R(4,5)$.
如图①,满足题意的“完美点”有$(1,1)$,$(2,1)$,$(2,2)$,$(3,3)$,共4个;

②当抛物线过点$(3,2)$时,解得$a=\frac{2}{5}$,
此时$P(2,\frac{4}{5})$,$Q(3,2)$,$R(4,4)$.
如图②,满足题意的“完美点”有$(1,1)$,$(2,1)$,$(2,2)$,$(3,2)$,$(3,3)$,$(4,4)$,共6个.
∴a的取值范围是$\frac{2}{5}＜a\leq\frac{1}{2}$.