《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

13. (12分)如图,AB是$\odot O$的直径,点D在射线BA上,DC与$\odot O$相切于点C,过点B作$BE⊥DC$,交DC的延长线于点E,连接BC,OC.
(1)求证:BC是$∠ABE$的平分线;
(2)若$DC= 8,DA= 4$,求AB的长.

答案：
(1)证明:
∵DC是⊙O的切线，
∴OC⊥DC,
∵BE⊥DC,
∴OC//BE,
∴∠OCB=∠CBE.
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∴∠OBC=∠CBE,　即BC是∠ABE的平分线.　
(2)解:设⊙O的半径为r,　则OD=r+4,　在Rt△OCD中,OD²=OC²+CD²,　即(r+4)²=r²+8²,解得r=6,
∴AB=2r=12.

14. (12分)[2024东营中考]如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,AB是$\odot O$的直径,点E在$\odot O$上,点C是$\overset{\frown}{BE}$的中点,$AE⊥CD$,垂足为点D,DC的延长线交AB的延长线于点F.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线;
(2)若$CD= \sqrt{3},∠ABC= 60^{\circ}$,求线段AF的长.

答案：
(1)证明:连接OC,则OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA.
∵点C是$\widehat{BE}$的中点，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{CE}$，
∴∠OAC=∠DAC,
∴∠OCA=∠DAC
∴OC//AD.
∵AE⊥CD,
∴CD⊥OC,
∴CD是⊙O的切线.　
(2)解:
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠ABC=60°,
∴∠BAC=90°−∠ABC=30°,
∴∠DAC=30°.
∵CD=$\sqrt{3}$,AE⊥CD,
∴易得AD=3.
∵AE⊥CD,∠BAC=∠DAC=30°,
∴∠F=90°−(∠BAC+∠DAC)=　30°,
∴AF=2AD=6.

15. (16分)新视角操作实践题如何仅用圆规和无刻度的直尺过圆外一点作已知圆的切线呢?请同学们阅读下面的分析:如图①,如果PA与$\odot O$相切于点A,那么$PA⊥OA$,即$∠PAO= 90^{\circ}$,根据“圆周角定理的推论:$90^{\circ}$的圆周角所对的弦是直径”可以得出点A既在$\odot O$上,也在以OP为直径的圆上,是两圆的公共点.
(1)请根据上面的分析在图②中完成尺规作图:用圆规和无刻度的直尺先找出线段OP的中点Q,然后画以点Q为圆心,以PQ长为半径的圆就可以确定切点的位置,切点分别记为A,B,画出直线PA和PB,即为经过$\odot O$外一点P的$\odot O$的两条切线;
(2)在(1)的条件下,若$\odot Q$的直径PO与$\odot O$交于点M,连接MA,MB,AB.求证:点M是$\triangle PAB$的内心.

答案：

(1)解:如图,直线　PA,PB即为所求.　　　　　　　　　　 　
(2)证明:如图,设　OP交AB于点T,　连接OA,OB.
∵PA,PB是⊙O的切线,
∴OA⊥AP,OB⊥BP.　又
∵OA=OB,OP=OP,
∴Rt△OAP≌Rt△OBP,
∴PA=PB,∠OPA=∠OPB,
∴PT⊥AB,
∴∠MAT+∠AMT=90°.
∵OA⊥AP,
∴∠PAM+∠MAO=90°,
∵OA=OM,
∴∠MAO=∠AMT,
∴∠PAM=∠MAB,　即AM为∠PAB的平分线.　同理可得BM为∠PBA的平分线，
∴点M是△PAB的内心.