《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

13. 已知二次函数$y = - (x - 1)^2 + 2$,当$t ＜ x ＜ 5$时,$y随x$的增大而减小,则实数$t$的取值范围是(C)
A.$0 ＜ t \leq 1$
B.$t \geq 1$
C.$1 \leq t ＜ 5$
D.$t \geq 5$

答案： C

14. 已知一次函数$y = kx + b$的图象不经过原点和第二象限,则抛物线$y = - 2(x + k)^2 + b$的顶点位于(C)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： C

15. [教材$P_{36}$例4变式]小林在练习投掷实心球,其示意图如图,某一次练习时,球从点$A$处被抛出,其路线是抛物线,点$A$距离地面1.6m,当球到$OA$的水平距离为1m时,达到最大高度,最大高度为1.8m.那么投掷距离$OB$为4m.

答案： 4

16. 如图,这是二次函数$y = a(x + 1)^2 + 2$图象的一部分,图象与$x轴的一个交点为A(- 3,0)$.根据图象解答下列问题：
(1)求$a的值和抛物线与x轴的另一个交点B$的坐标.解：将点$A(-3,0)$代入$y = a(x + 1)^2 + 2$，得$0=a(-3 + 1)^2+2$，$0 = 4a+2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
抛物线对称轴为直线$x=-1$，设点$B$坐标为$(x,0)$，则$\frac{-3 + x}{2}=-1$，解得$x = 1$，所以点$B$坐标为$(1,0)$。
(2)当$- 2 \leq x \leq 1$时,$y$的取值范围为______$-\frac{1}{2}\leq y\leq2$.
(3)将此抛物线沿$x$轴平移多少个单位长度后,得到的新抛物线经过原点？解：设平移后抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x + 1 + m)^2+2$（$m$为平移单位，向右平移$m＞0$，向左平移$m＜0$），因为过原点$(0,0)$，所以$0=-\frac{1}{2}(0 + 1 + m)^2+2$，$\frac{1}{2}(m + 1)^2=2$，$(m + 1)^2=4$，$m + 1=\pm2$，解得$m = 1$或$m=-3$。
所以将抛物线沿$x$轴向右平移$1$个单位或向左平移$3$个单位后经过原点。

答案：
(1)解：将点$A(-3,0)$代入$y = a(x + 1)^2 + 2$，得$0=a(-3 + 1)^2+2$，$0 = 4a+2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
抛物线对称轴为直线$x=-1$，设点$B$坐标为$(x,0)$，则$\frac{-3 + x}{2}=-1$，解得$x = 1$，所以点$B$坐标为$(1,0)$。
(2)$-\frac{1}{2}\leq y\leq2$
(3)解：设平移后抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x + 1 + m)^2+2$（$m$为平移单位，向右平移$m＞0$，向左平移$m＜0$），因为过原点$(0,0)$，所以$0=-\frac{1}{2}(0 + 1 + m)^2+2$，$\frac{1}{2}(m + 1)^2=2$，$(m + 1)^2=4$，$m + 1=\pm2$，解得$m = 1$或$m=-3$。
所以将抛物线沿$x$轴向右平移$1$个单位或向左平移$3$个单位后经过原点。

17. 已知点$P(2,- 3)在抛物线y = a(x - 1)^2 + k$($a$,$k均为常数且a \neq 0$)上,抛物线交$y轴于点C$,连接$CP$.
(1)写出该抛物线的对称轴,并用含$a的式子表示k$；
(2)当该抛物线经过点$(4,- 7)$时,求此时该抛物线的解析式及顶点坐标；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.如图,当$a ＜ 0$时,若该抛物线在点$C$,$P之间的部分与线段CP$所围成的区域内(含边界)恰有5个整点,求$a$的取值范围.

答案： 1. （1）
对于抛物线$y=a(x - 1)^2 + k$（$a\neq0$），根据抛物线顶点式$y=a(x - h)^2 + k$（对称轴为$x = h$），可得其对称轴为$x = 1$。
因为点$P(2,-3)$在抛物线$y=a(x - 1)^2 + k$上，将$x = 2$，$y=-3$代入$y=a(x - 1)^2 + k$中，得：
$-3=a(2 - 1)^2 + k$，即$k=-3 - a$。
2. （2）
解：已知抛物线$y=a(x - 1)^2 + k$，$k=-3 - a$，且抛物线经过点$(4,-7)$，将$x = 4$，$y=-7$代入$y=a(x - 1)^2-3 - a$中。
则$-7=a(4 - 1)^2-3 - a$。
展开式子得$-7 = 9a-3 - a$。
移项合并同类项：$9a - a=-7 + 3$，即$8a=-4$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
把$a = -\frac{1}{2}$代入$k=-3 - a$，得$k=-3+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$。
所以抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}(x - 1)^2-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}(x^{2}-2x + 1)-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}x^{2}+x-3$。
对于顶点式$y=-\frac{1}{2}(x - 1)^2-\frac{5}{2}$，其顶点坐标为$(1,-\frac{5}{2})$。
3. （3）
解：由（1）知$k=-3 - a$，则$y=a(x - 1)^2-3 - a$，当$x = 0$时，$y=a-3 - a=-3$，所以$C(0,-3)$，$P(2,-3)$。
因为$a\lt0$，抛物线$y=a(x - 1)^2-3 - a=ax^{2}-2ax-3$。
当$x = 1$时，$y=-3 - a$。
因为抛物线在点$C$，$P$之间的部分与线段$CP$所围成的区域内（含边界）恰有$5$个整点，这些整点为$(0,-3)$，$(1,-3)$，$(2,-3)$，$(1,-2)$，$(1,-1)$。
当$x = 1$时，$-1\leqslant-3 - a\lt0$。
解不等式$-1\leqslant-3 - a$，移项得$a\leqslant-2$；
解不等式$-3 - a\lt0$，移项得$a\gt - 3$。
所以：
（1）对称轴为$x = 1$，$k=-3 - a$；
（2）抛物线解析式为$y=-\frac{1}{2}x^{2}+x-3$，顶点坐标为$(1,-\frac{5}{2})$；
（3）$-3\lt a\leqslant-2$。