《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

14. 易错题若关于x的一元二次方程$(m-3)x^{2}+m^{2}x= 9x+5$化为一般形式后不含一次项,则m的值为(D)
A.0
B.±3
C.3
D.-3

答案： D

15. 若关于x的一元二次方程$ax^{2}-bx-20= 0满足a+b= 20$,则方程必有一根为(A)
A.-1
B.1
C.±1
D.无法确定

答案： A

16. 新考向 数学文化《九章算术》中有一题：“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三,乙东行,甲南行十而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何?”大意是说：“如图,甲、乙二人同时从同一地点出发,甲的速度为7,乙的速度为3.乙一直向东走,甲先向南走10,后又向北偏东方向走了一段后与乙相遇,那么相遇时,甲、乙各走了多少?”设甲、乙二人从出发到相遇的时间为x,根据题意,下列方程正确的是(C)

A.$(3x)^{2}+(7x)^{2}= 10^{2}$
B.$(3x)^{2}+10^{2}= (7x)^{2}$
C.$(3x)^{2}+10^{2}= (7x-10)^{2}$
D.$(3x+10)^{2}+10^{2}= (7x)^{2}$

答案： C

17. (1)[2024南充中考]已知m是方程$x^{2}+4x-1= 0$的一个根,则$(m+5)(m-1)$的值为-4.
(2)已知a是方程$x^{2}+2025x-1= 0$的一个根,则代数式$a(a+1)(a-1)+2025a^{2}+1$的值是1.

答案：
(1)-4
(2)1

18. 根据下列问题列一元二次方程,并将所列方程化成一般形式：
(1)某班之间为相互鼓励,每两人之间进行一次击掌,共击掌595次.求本班有多少名同学；
(2)如图,用100m长的围栏围成总面积为$400m^{2}$的三个大小相同的矩形羊圈,羊圈的一面靠墙(墙足够长),求AB的长.
]

答案： 解：
(1)设本班有 x 名同学，依题意，得$\frac{1}{2}x(x-1)=595$，化成一般形式为 x²-x-1190=0.
(2)设 AB 的长为 x m，由题意，得x(100-4x)=400，化成一般形式为x²-25x+100=0.

19. 新视角 新定义题如图,四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形,a,b,c是$Rt△ABC和Rt△BED$的三边长,易知$AE= \sqrt {2}c$,这时我们把关于x的形如$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”,比如$3x^{2}+5\sqrt {2}x+4= 0$是“勾系一元二次方程”.请解决下列问题：
(1)方程$x^{2}+2x+1= 0$____“勾系一元二次方程”(填“是”或“不是”)；
(2)若$x= -1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b= 0$的一个根,且四边形ACDE的周长是12,求$△ABC$的面积.

(1)是
(2)2

答案： 解：
(1)是
(2)把 x=-1 代入方程，得$a-\sqrt{2}c+b=0$，即$a+b=\sqrt{2}c$.
由题意得$2a+2b+\sqrt{2}c=12$，即$2(a+b)+\sqrt{2}c=12$，$\therefore 3\sqrt{2}c=12$.$\therefore c=2\sqrt{2}$.
$\therefore a+b=\sqrt{2}c=4$.易知$a²+b²=c²=8$，$(a+b)²=a²+2ab+b²=16$，$\therefore ab=4$.$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}ab=2$.