《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

11. [2025杭州萧山区月考]下列图象中,可能是函数$y= ax^{2}-a(a≠0)$的图象的是 (D)

答案： D

12. 已知抛物线$y= x^{2}+3$上有两点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$,若$y_{1}＜y_{2}$,则下列结论正确的是 (D)
A.$0≤x_{1}＜x_{2}$
B.$x_{2}＜x_{1}≤0$
C.$x_{2}＜x_{1}≤0或0≤x_{1}＜x_{2}$
D.以上都不对

答案： D

13. 已知二次函数$y= x^{2}-1$,当$-2≤x≤1$时,函数值y的取值范围是 (D)
A.$0≤y≤3$
B.$-1≤y≤0$
C.$0≤y≤1$
D.$-1≤y≤3$

答案： D

14. 已知抛物线$y_{1}= x^{2}-2经过平移后得到抛物线y_{2}= x^{2}-4$.若抛物线$y_{1}$上任意一点M的坐标是$(m,n)$,则平移后其对应点的坐标一定是 (A)
A.$(m,n-2)$
B.$(m-2,n)$
C.$(m+2,n)$
D.$(m,n+2)$

答案： A

15. 若抛物线$y= ax^{2}+c与y= -4x^{2}+3$关于x轴对称,则$a+c= $1.

答案： 1

16. 如图,抛物线$y= ax^{2}+c$经过正方形OABC的三个顶点A,B,C,点B在y轴上,则ac的值为-2.

答案： 1. 首先，设正方形$OABC$的边长为$m$：
因为点$B$在$y$轴上，由正方形的性质可知$OA = AB = BC = CO=m$，且$OA$与$x$轴正半轴夹角为$45^{\circ}$。
那么点$A$的坐标为$(\frac{\sqrt{2}}{2}m,\frac{\sqrt{2}}{2}m)$，点$B$的坐标为$(0,m)$。
2. 然后，把点$A(\frac{\sqrt{2}}{2}m,\frac{\sqrt{2}}{2}m)$和$B(0,m)$代入抛物线$y = ax^{2}+c$：
把$x = 0$，$y = m$代入$y = ax^{2}+c$，根据$y=ax^{2}+c$中，当$x = 0$时，$y=c$，可得$c=m$。
把$x=\frac{\sqrt{2}}{2}m$，$y=\frac{\sqrt{2}}{2}m$，$c = m$代入$y = ax^{2}+c$，得到$\frac{\sqrt{2}}{2}m=a×(\frac{\sqrt{2}}{2}m)^{2}+m$。
化简方程$\frac{\sqrt{2}}{2}m=a×\frac{1}{2}m^{2}+m$：
移项可得$\frac{1}{2}am^{2}+m - \frac{\sqrt{2}}{2}m = 0$，因为$m\neq0$（$m = 0$时正方形不存在），方程两边同时除以$m$，得到$\frac{1}{2}am+1 - \frac{\sqrt{2}}{2}=0$。
进一步求解$a$：
$\frac{1}{2}am=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，则$a=\frac{\sqrt{2}-2}{m}$。
3. 最后，计算$ac$的值：
已知$c = m$，$a=\frac{\sqrt{2}-2}{m}$，所以$ac=\frac{\sqrt{2}-2}{m}× m=\sqrt{2}-2$。
另一种方法：
设$OA = 1$，则$A(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$B(0,1)$。
把$A(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$B(0,1)$代入$y = ax^{2}+c$得$\begin{cases}c = 1\\frac{1}{2}a + c=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{cases}$。
把$c = 1$代入$\frac{1}{2}a + c=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{1}{2}a+1=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
移项得$\frac{1}{2}a=\frac{\sqrt{2}}{2}-1$，解得$a=\sqrt{2}-2$。
所以$ac=(\sqrt{2}-2)×1=\sqrt{2}-2$。
故$ac$的值为$\sqrt{2}-2$。

17. 如图,抛物线$y= -x^{2}+4$与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,四边形ABCD为平行四边形.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D,求平移后抛物线的解析式.

答案： 解：
(1)在$y=-x^{2}+4$中,令$x=0$,则$y=4$;令$y=0$,则$-x^{2}+4=0$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=-2$.$\therefore A(-2,0)$,$B(2,0)$,$C(0,4)$.
(2)$\because$四边形ABCD是平行四边形,$AB=4$,$\therefore CD=AB=4$,$CD// AB$.$\because C(0,4)$,$\therefore D(-4,4)$.设平移后抛物线的解析式为$y=-x^{2}+4+m$,则$4=-(-4)^{2}+4+m$,解得$m=16$,$\therefore$平移后抛物线的解析式为$y=-x^{2}+20$.

18. 核心素养 创新意识 已知抛物线$y= \frac{1}{4}x^{2}+1$具有如下性质:抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到x轴的距离相等.如图,点M的坐标为$(\sqrt{3},3)$,P是抛物线$y= \frac{1}{4}x^{2}+1$上一动点.
(1)当$\triangle POF$的面积为4时,点P的坐标为____;
(2)求$\triangle PMF$周长的最小值.

答案：
解：
(1)$(-4,5)$或$(4,5)$
(2)如图,过点M作$ME\perp x$轴于点E,ME与抛物线交于点$P'$,连接$P'F$.

$\because$抛物线上任意一点到定点$F(0,2)$的距离与到x轴的距离相等,$\therefore P'F=P'E$,$\therefore P'M+P'F=P'M+P'E=ME$.又$\because MF$为定值,$\therefore$当点P运动到点$P'$时,$\triangle PMF$的周长最小,此时$\triangle PMF$的周长$=ME+MF$.$\because F(0,2)$,$M(\sqrt{3},3)$,$\therefore ME=3$,$FM=\sqrt{(\sqrt{3}-0)^{2}+(3-2)^{2}}=2$,$\therefore ME+MF=3+2=5$,$\therefore \triangle PMF$周长的最小值为5.