《2025年点拨训练九年级数学上册人教版》

1. [2024自贡中考]关于x的一元二次方程$x^{2}+kx - 2 = 0$的根的情况是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： A

2. 老师让学生写一个一元二次方程,使其没有实数根,以下是某学习小组的四位同学给出的答案：小明的答案为$x^{2}+3x + 1 = 0$；淇淇的答案为$2x^{2}+3x + 1 = 0$；佳佳的答案为$-2x^{2}+3x + 1 = 0$；轩轩的答案为$3x^{2}+2x + 1 = 0$.老师看后,说只有一个同学的答案是对的,则这位同学是(D)
A.小明
B.淇淇
C.佳佳
D.轩轩

答案： D

3. 已知函数$y = kx + 2$的图象如图所示,则一元二次方程$x^{2}-2x + 1 - k = 0$的根的情况是没有实数根.

答案： 没有实数根

4. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+mx + n = 0$.当$n = m - 3$时,不解方程,判断方程根的情况,并说明理由.

答案： 解：方程有两个不相等的实数根. 理由如下：
∵n=m-3，
∴Δ=m²-4n=m²-4(m-3)=(m-2)²+8.
∵(m-2)²≥0，
∴(m-2)²+8＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.

5. 关于x的一元二次方程$9x^{2}-6x + c = 0$有两个相等的实数根,则$c = $(D)
A.-9
B.4
C.-1
D.1

答案： D

6. [新视角 新定义题]规定：对于任意实数a,b,c,有【a,b】★$c = ac + b$,其中等式右边是通常的乘法和加法运算,如【2,3】★$1 = 2×1 + 3 = 5$.若关于x的方程【x,x + 1】★$(mx) = 0$有两个不相等的实数根,则m的取值范围为(D)
A.$m ＜ \frac{1}{4}$
B.$m ＞ \frac{1}{4}$
C.$m ≤ \frac{1}{4}且m ≠ 0$
D.$m ＜ \frac{1}{4}且m ≠ 0$

答案： D

7. [新考法 整体思想]若关于x的方程$x^{2}-mx + m = 0$有两个相等的实数根,则代数式$3m^{2}-12m + 7$的值为7.

答案： 7

8. [2024南充中考]已知$x_{1}$,$x_{2}$是关于x的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1 = 0$的两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围；
(2)若$k ＜ 5$,且k,$x_{1}$,$x_{2}$都是整数,求k的值.

答案： 解：
(1)
∵x₁,x₂是关于x的方程x²-2kx+k²-k+1=0的两个不相等的实数根，
∴Δ=(-2k)²-4×1×(k²-k+1)=4k²-4k²+4k-4=4k-4＞0，解得k＞1.
(2)由
(1)得k＞1，又
∵k＜5，
∴1＜k＜5，
∴整数k的值有2,3,4.
当k=2时，方程为x²-4x+3=0，解得x₁=1,x₂=3(都是整数，符合题意)；
当k=3时，方程为x²-6x+7=0，
解得x=3±√2(不是整数，舍去)；
当k=4时，方程为x²-8x+13=0，
解得x=4±√3(不是整数，舍去).
综上所述，k的值为2.