《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 已知 $ \angle A $,$ \angle B $ 为锐角.
(1) 若 $ \angle A = \angle B $,则 $ \cos A $=$ \cos B $；
(2) 若 $ \tan A = \tan B $,则 $ \angle A $=$ \angle B $；
(3) 若 $ \tan A \cdot \tan B = 1 $,则 $ \angle A $ 与 $ \angle B $ 的关系为∠A+∠B=90°.

答案：
(1)=
(2)=
(3)∠A+∠B=90°

8. $ \triangle ABC $ 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长均为 1),$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,下列结论中,错误的是(C)

A.$ \sin \alpha = \cos \alpha $
B.$ \tan C = 2 $
C.$ \sin \beta = \cos \beta $
D.$ \tan \alpha = 1 $

答案： C

9. 如图,$ \triangle ABC $ 的顶点都在正方形网格的格点上,则 $ \sin C = $____$\frac{3\sqrt{10}}{10}$.

答案： $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB = 15 $,$ AC = 13 $,$ S_{\triangle ABC} = 84 $,求 $ \sin A $ 的值.

答案： 解:过点C作CD⊥AB于点D.
∵$S_{△ABC}$=$\frac{1}{2}$AB·CD,
∴CD=$\frac{2S_{△ABC}}{AB}$=$\frac{2×84}{15}$=$\frac{56}{5}$.
在Rt△ACD中,sin A=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{\frac{56}{5}}{13}$=$\frac{56}{65}$.

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ AC $,$ AB $ 上,$ BD $ 平分 $ \angle ABC $,$ DE \perp AB $ 于点 $ E $,$ AE = 6 $,$ \cos A = \frac{3}{5} $.
(1) 求 $ CD $ 的长；
(2) 求 $ \tan \angle DBC $ 的值.

答案：
(1)解:在Rt△ADE中,AE=6,cos A=$\frac{3}{5}$,
所以AD=$\frac{AE}{cos A}$=10.
由勾股定理,得DE=$\sqrt{AD^2 - AE^2}$=$\sqrt{10^2 - 6^2}$=8.
因为DE⊥AB,CD⊥BC,BD平分∠ABC,
所以由角平分线的性质,得CD=DE=8.
(2)解:由
(1)得AC=AD+CD=18.
在Rt△ACB中,cos A=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{3}{5}$,
所以AB=30.
由勾股定理,得BC=$\sqrt{AB^2 - AC^2}$=$\sqrt{30^2 - 18^2}$=24,
所以tan∠DBC=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{8}{24}$=$\frac{1}{3}$.