《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 已知二次函数y有最大值4,且其图象与x轴的两交点间的距离是8,对称轴为直线$x= -3$,则此二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{4}x²-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$。

答案： $y=-\frac{1}{4}x²-\frac{3}{2}x+\frac{7}{4}$

8. 如图,若抛物线$y= ax^{2}+bx+4经过点A(-3,0)$,点B在抛物线上,$CB// x$轴,且AB平分$∠CAO$,则此抛物线的函数表达式是$y=-\frac{1}{6}x²+\frac{5}{6}x + 4$。

答案： $y=-\frac{1}{6}x²+\frac{5}{6}x + 4$

9. 如图,已知平面直角坐标系中的四个点：$A(0,2)$,$B(1,0)$,$C(3,1)$,$D(2,3)$。二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象经过其中任意三个点,当a的值最大时,二次函数的表达式为$y=\frac{5}{2}x²-\frac{9}{2}x + 2$。

答案： $y=\frac{5}{2}x²-\frac{9}{2}x + 2$

10. 如图,已知$Rt\triangle ABC$的斜边AB在x轴上,斜边上的高OC在y轴的正半轴上,且$OA= 1$,$OC= 2$,求经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式。

答案： 解:
∵∠AOC = ∠ACB = 90°,
∴∠CAO + ∠ACO = 90°,∠CAO + ∠ABC = 90°.
∴∠ACO = ∠ABC.又
∵∠AOC = ∠COB = 90°,
∴△ACO∽△CBO.
∴$\frac{OC}{OB}=\frac{OA}{OC}，$即OC²=OB·OA.
∵OA = 1,OC = 2,
∴OB = 4.
∴A(-1,0),C(0,2),B(4,0).设抛物线的函数表达式为y=a(x + 1)(x - 4).将(0,2)代入,得2=-4a,解得$a=-\frac{1}{2}.$
∴经过A,B,C三点的抛物线的函数表达式为$y=-\frac{1}{2}(x + 1)(x - 4)=-\frac{1}{2}x²+\frac{3}{2}x + 2.$