《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 校园中一棵树的高度为8m,下午某一时刻它在水平地面上形成的树影长为10m。身高1.6m的小亮想站在树荫下乘凉,那么他最多可以离树干8 m远才能不被阳光晒到。

答案： 8 m

9. 如图,在一条马路l上有路灯AB(灯泡在点A处)和小树CD。某天上午9:00,路灯AB的影子顶部刚好落在点C处。
(1)画出小树CD在这天上午9:00太阳光下的影子CE和晚上在路灯AB下的影子CF；
(2)若(1)中点E恰好为CF的中点,小树CD高2m,求路灯AB的高度。

答案：
解:
(1)如图,CE,CF就是所求作的影子.

(2)设AB的长为x m.
∵DE//AC,点E为CF的中点,
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{EF}{CF}=\frac{1}{2}$
∵DC//AB,
∴△ABF∽△DCF.
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AF}{DF}=2$,即$\frac{x}{2}=2$,解得x=4.
故路灯AB的高度为4 m.

10. 如图,△ABC被平行光线照射,CD⊥AB于点D,AB在投影面上。
(1)图中AC的投影是什么？CD与BC的投影呢？
(2)探究：当△ABC为直角三角形(∠ACB= 90°)时,易得$AC^2= AD·AB,$此时有如下结论：直角三角形一直角边的平方等于它落在斜边的投影长与斜边的乘积,这一结论我们称为射影定理。通过对上述结论的推理,请证明以下两个结论。
$①BC^2= BD·AB；$$②CD^2= AD·BD。$

答案：
(1)解:
∵CD⊥AB,
而平行光线垂直于AB,
∴AC的投影是AD,CD的投影是点D,BC的投影为BD.
(2)证明:①
∵∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，
∴∠ACB=∠CDB=90°.
∵∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC.
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{BD}{BC}$.
∴$BC^2=BD·AB$.
②易得∠ACD=∠B,∠ADC=∠CDB,
∴△ACD∽△CBD.
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{AD}{CD}$
∴$CD^2=AD·BD$.