《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 为 AD 边的中点,AC = 12,BD = 16,则 OE 的长等于(D)

A.12
B.16
C.10
D.5

答案： D

9. 如图,在ABCD中,AB = 4,∠CBA = 120°,以点 A 为圆心,AB 的长为半径画弧交 AD 于点 F,再分别以点 B,F 为圆心,大

于

$\frac{1}{2}$BF 的长为半径画弧,两弧相交于点 P,连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF,则 AE 的长为$4\sqrt{3}$.

答案： $4\sqrt{3}$

10. 如图,点 P 为菱形 ABCD 的对角线 BD 上一点,连接 PA,PC. 点 E 在边 AD 上,且∠AEP = ∠DCP. 求证：PC = PE.

答案： 证明:
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AD=CD,∠ADP=∠CDP.
又 DP=DP,
∴ △ADP≌△CDP(SAS).
∴ AP=CP,∠DCP=∠DAP.
∵ ∠AEP=∠DCP,
∴ ∠DAP=∠AEP.
∴ AP=PE.
∴ PC=PE.

11. 如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD = 45°,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,DE⊥AB 于点 E,交 AC 于点 F.
(1) 求证：△AEF≌△DEB.
(2) 若 DE + EF = 10,求菱形 ABCD 的周长.

答案：
(1)证明:
∵ DE⊥AB,
∴ ∠AED=∠DEB=90°.
∵ ∠BAD=45°,
∴ ∠ADE=∠BAD=45°.
∴ AE=DE.
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC⊥BD.
∴ ∠OAB+∠ABD=∠BDE+∠ABD=90°.
∴ ∠OAB=∠BDE.
∴ △AEF≌△DEB(ASA).
(2)解:由
(1)知,△AEF≌△DEB,
∴ EF=EB.
∴ AB=AE+EB=DE+EF=10.
∴ 菱形 ABCD 的周长=4AB=4×10=40.