《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 若$(a^2 + \sqrt{5} - 2)^2 = 20$,则$a^2$的值为(A)
A.$2 + \sqrt{5}$
B.$2 - \sqrt{5}$
C.$2 + \sqrt{5}或2 - 3\sqrt{5}$
D.$2 - 3\sqrt{5}$

答案： A

8. 已知$a$,$b$是实数,且$\sqrt{b - 4} + |a^2 - 2a + 1| = 0$,求$ab$的值。

答案： 解:$\because \sqrt {b-4}+|a^{2}-2a+1|=0,\sqrt {b-4}≥0,$$|a^{2}-2a+1|≥0,$$\therefore b-4=0,a^{2}-2a+1=(a-1)^{2}=0.$解得$b=4,a=1.$$\therefore ab=1×4=4.$

9. 已知$a$,$b$,$c是\triangle ABC$的三边长。若$a$,$b$,$c满足a^2 + c^2 + 2b(b - a - c) = 0$,试判断$\triangle ABC$的形状。

答案： 解:$a^{2}+c^{2}+2b(b-a-c)=0,$$\therefore a^{2}+c^{2}+2b^{2}-2ab-2bc=0,$即$(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0.$又$\because (a-b)^{2}≥0,(b-c)^{2}≥0,$$\therefore a-b=0,b-c=0.$$\therefore a=b=c$,即$\triangle ABC$为等边三角形.

10. 阅读材料：我们学习了完全平方式,并知道完全平方式具有非负性。我们可以利用完全平方式的知识,将一般的二次代数式转化为完全平方式的形式,这个过程叫做“配方”。通过配方,我们可以求代数式的最大(小)值。
例如：求代数式$y^2 + 4y + 8$的最小值。
解：将代数式配方,得$y^2 + 4y + 8 = y^2 + 4y + 4 + 4 = (y + 2)^2 + 4$。
$\because (y + 2)^2 \geq 0$,$\therefore (y + 2)^2 + 4 \geq 4$。
$\therefore y^2 + 4y + 8$的最小值是4。
(1)求代数式$m^2 + m + 4$的最小值；
(2)求代数式$-x^2 + 4x + 12$的最大值。

答案： 解:
(1)$\because m^{2}+m+4=m^{2}+m+\frac {1}{4}-\frac {1}{4}+4=$$(m+\frac {1}{2})^{2}+\frac {15}{4},$又$\because (m+\frac {1}{2})^{2}≥0,$$\therefore (m+\frac {1}{2})^{2}+\frac {15}{4}≥\frac {15}{4}.$$\therefore m^{2}+m+4$的最小值是$\frac {15}{4}.$
(2)$\because -x^{2}+4x+12=-(x^{2}-4x+4-4)+12=$$-(x-2)^{2}+16,$又$\because -(x-2)^{2}≤0,$$\therefore -(x-2)^{2}+16≤16.$$\therefore -x^{2}+4x+12$的最大值是16.