《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 对于解方程$(x + 3)^2 = 2x + 6$,小刚的做法如下：
解：等号右边提取公因式$2$,得$(x + 3)^2 = 2(x + 3)$。···步骤$1$
等号两边都除以$(x + 3)$,得$x + 3 = 2$。···步骤$2$
移项,得$x = 2 - 3$。···步骤$3$
合并同类项,得$x = -1$。···步骤$4$
已知小刚在解方程的过程中出现了错误,请指出他开始出错的步骤,并给出正确且完整的解答过程。

答案： 解:小刚开始出错的步骤是步骤2. 完整解答过程:$(x+3)^{2}=2(x+3).$ 移项,得$(x+3)^{2}-2(x+3)=0.$ 因式分解,得$(x+3)(x+3-2)=0,$ 即$(x+3)(x+1)=0.$ $\therefore x+3=0$或$x+1=0.$ $\therefore x₁=-3,x₂=-1.$

9. 已知$x^2 - xy - 2y^2 = 0$,且$x ≠ 0,y ≠ 0$,求代数式$\frac{x^2 - 2xy - 5y^2}{x^2 + 2xy + 5y^2}$的值。

答案： 解:由$x²-xy-2y²=0,$ 得$(x-2y)(x+y)=0.$ $\therefore x-2y=0$或$x+y=0.$ $\therefore x=2y$或$x=-y.$ 当$x=2y$时, $\frac {x²-2xy-5y²}{x²+2xy+5y²}=\frac {(2y)²-2×2y·y-5y²}{(2y)²+2×2y·y+5y²}$ $=\frac {-5y²}{13y²}=-\frac {5}{13}.$ 当$x=-y$时, $\frac {x²-2xy-5y²}{x²+2xy+5y²}$ $=\frac {(-y)²-2·(-y)·y-5y²}{(-y)²+2·(-y)·y+5y²}$ $=\frac {-2y²}{4y²}=-\frac {1}{2}.$

10. 为解方程$(x^2 - 1)^2 - 5(x^2 - 1) + 4 = 0$,我们可以将$x^2 - 1$视为一个整体,然后设$x^2 - 1 = y$,则$y^2 = (x^2 - 1)^2$。原方程可化为$y^2 - 5y + 4 = 0$,解此方程,得$y_1 = 1,y_2 = 4$。当$y = 1$时,$x^2 - 1 = 1,x^2 = 2,∴x = ±\sqrt{2}$。
当$y = 4$时,$x^2 - 1 = 4,x^2 = 5,∴x = ±\sqrt{5}$。
∴原方程的解为$x_1 = -\sqrt{2},x_2 = \sqrt{2},x_3 = -\sqrt{5},x_4 = \sqrt{5}$。
以上方法叫换元法。使用换元法达到了降次的目的,体现了转化的思想。
(1)运用上述方法解方程：$x^4 - 3x^2 - 4 = 0$。
(2)你能直接运用因式分解法解(1)中这个方程吗？

答案：
(1)设$x²=y,$ 则原方程可化为$y²-3y-4=0,$ 解得$y=-1$或4. 当$y=-1$时,$x²=-1$(舍去); 当$y=4$时,$x²=4$,解得$x=±2.$ $\therefore$原方程的解为$x₁=2,x₂=-2.$
(2)$\because x⁴-3x²-4=0,$ $\therefore (x²+1)(x²-4)=0.$ $\therefore x²+1=0$或$x²-4=0.$ $\therefore x²=-1$(舍去)或$x²=4.$ $\therefore x=±2.$