《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为 1,$A$,$B$,$C$三点均在格点上.
(1) 请在$BC上标出点D$,连接$AD$,使得$\triangle ABD \backsim \triangle CBA$；
(2) 试说明上述结论.

答案：

(1)如图,点D即为所求.

(2)
∵ $AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$,BC=5,BD=1,
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,$\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
∴ $\frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}$.
∵ ∠DBA=∠ABC,
∴ △ABD∽△CBA.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别在边AB$,$AC$上,$∠AED = ∠B$,射线$AG分别交线段DE$,$BC于点F$,$G$,且$\frac{AD}{AC} = \frac{DF}{CG}$.
(1) 求证：$\triangle ADF \backsim \triangle ACG$.
(2) 若$\frac{AD}{AC} = \frac{1}{2}$,求$\frac{AF}{FG}$的值.

答案：
(1)证明:
∵ ∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC,
∴ ∠ADF=∠C.
∵ $\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$,
∴ △ADF∽△ACG.
(2)解:
∵ △ADF∽△ACG,
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AF}{AG}$.又
∵ $\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$,
∴ $\frac{AF}{AG}=\frac{1}{2}$.
∴ $\frac{AF}{FG}=1$.

9. 如图,在正方形$ABCD$中,$E$,$F分别是边AD$,$CD$上的点,$AE = ED$,$DF = \frac{1}{4}DC$,连接$EF$并延长,交$BC的延长线于点G$.
(1) 求证：$\triangle ABE \backsim \triangle DEF$.
(2) 若正方形的边长为 4,求$FG$的长.

答案：
(1)证明:
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ AD=AB=DC=BC,∠A=∠D=90°.
∵ AE=ED,
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵ $DF=\frac{1}{4}DC$,
∴ $\frac{DF}{DE}=\frac{1}{2}$.
∴ $\frac{AE}{AB}=\frac{DF}{DE}$.
∴ $\frac{AE}{DF}=\frac{AB}{DE}$.
∴ △ABE∽△DEF.
(2)解:
∵ 四边形ABCD为正方形,
∴ ED//BG.
∴ △DEF∽△CGF.
∴ $\frac{ED}{CG}=\frac{DF}{CF}$.
又
∵ $DF=\frac{1}{4}DC$,正方形的边长为4,
∴ DF=1,ED=2.
∴ CF=3,CG=6.
∴ $GF=\sqrt{CF^2+CG^2}=\sqrt{9+36}=3\sqrt{5}$.