《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

6. 若方程$16x^2 - mx + \frac{1}{4} = 0$的左边是一个完全平方式,则$m$的值为(B)
A.-4
B.-4或4
C.-2或2
D.4

答案： B

7. 用配方法将方程$3x^2 - 4x - 2 = 0化为a(x + m)^2 + n = 0$的形式,则(B)
A.$m = \frac{2}{3}$,$n = \frac{10}{3}$
B.$m = -\frac{2}{3}$,$n = -\frac{10}{3}$
C.$m = 2$,$n = 6$
D.$m = 2$,$n = -2$

答案： B

8. 无论$x$取何值,代数式$3x^2 - 6x + 11$的值(B)
A.总大于8
B.总不小于8
C.总不小于11
D.总大于11

答案： B

9. 已知实数$x满足4x^2 - 4x + 1 = 0$,求代数式$2x + \frac{1}{2x}$的值。

答案： 解:$\because 4x^{2}-4x+1=0,$$\therefore (2x-1)^{2}=0.$$\therefore 2x=1.$$\therefore 2x+\frac {1}{2x}+1=1+1=2.$

10. 定义：若一个整数能表示成$a^2 + b^2$($a$,$b$为整数)的形式,则称这个数为“完美数”。例如,5是“完美数”。理由：因为$5 = 1^2 + 2^2$,所以5是“完美数”。
解决问题：
(1)已知29是“完美数”,请将它写成$a^2 + b^2$($a$,$b$为整数)的形式；
(2)若$x^2 - 4x + 5可配方成(x - m)^2 + n$($m$,$n$为常数)的形式,求$mn$的值；
(3)已知$S = x^2 + 4y^2 + 4x - 12y + k$($x$,$y$是整数,$k$是常数),要使$S$为“完美数”,试求出$k$的值。

答案： 解:
(1)$29=25+4=5^{2}+2^{2}.$
(2)$x^{2}-4x+5=x^{2}-4x+4+1=(x-2)^{2}+1,$$\therefore m=2,n=1.$$\therefore mn=2.$
(3)$S=x^{2}+4y^{2}+4x-12y+k$$=x^{2}+4x+4+4y^{2}-12y+9+k-4-9$$=(x+2)^{2}+(2y-3)^{2}+k-13.$$\because S$为"完美数"，$\therefore k-13=0.$$\therefore k=13.$