《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

5. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置,其最快移动速度 $ v(m/s) $ 是载重后总质量 $ m(kg) $ 的反比例函数,其图象如图所示. 下列说法中错误的是(C)

A.该图象的函数表达式为 $ v= \frac{360}{m}(m＞0) $
B.已知机器狗无载重时的最快移动速度为 $ 9m/s $,则机器狗的质量为 $ 40kg $
C.机器狗的质量越大,其移动速度越快
D.要使机器狗的最快移动速度 $ v $ 不低于 $ 5m/s $,其载重后总质量不能大于 $ 72kg $

答案： C

6. 学校对学生宿舍进行消毒工作. 先经过 $ 5\min $ 的集中药物喷洒,再封闭宿舍 $ 10\min $,然后打开门窗进行通风. 宿舍内空气中的含药量 $ y(mg/m^3) $ 与时间 $ x(\min) $ 之间的函数图象如图所示,打开门窗前为线段 $ OA $ 和线段 $ AB $,打开门窗后为反比例函数关系.

(1) 求线段 $ OA $ 和反比例函数的表达式.
(2) 当室内空气中的含药量不低于 $ 4mg/m^3 $ 且持续时间不低于 $ 30\min $ 时,才能有效消毒. 请问：这次消毒工作是否有效？

答案： 解:
(1)设线段OA的表达式为y=kx.把(5,10)代入表达式,得10=5k,
∴k=2.则线段OA的表达式为y=2x(0≤x≤5).设反比例函数的表达式为$ y=\frac{m}{x} $.将(15,9)代入表达式,得m=15×9=135.
∴反比例函数的表达式为$ y=\frac{135}{x}(x\geq15) $.
(2)此次消毒工作有效.理由如下:将y=4代入y=2x,得x=2.将y=4代入$ y=\frac{135}{x} $,得x=33.75.
∵33.75-2=31.75＞30,
∴此次消毒工作有效.

7. 如图,一次函数 $ y_1 = mx + n(m\neq0) $ 的图象与反比例函数 $ y_2= \frac{k}{x}(k\neq0) $ 的图象相交于 $ A(a,-1) $,$ B(-1,3) $ 两点,且一次函数 $ y_1 $ 的图象交 $ x $ 轴于点 $ C $,交 $ y $ 轴于点 $ D $.

(1) 求一次函数和反比例函数的表达式；
(2) 在第四象限的一次函数图象上有一点 $ P $,满足 $ CP = 6BD $,请求出点 $ P $ 的坐标；
(3) 当 $ y_1\leq y_2 $ 时,直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案： 解:
(1)
∵反比例函数$ y_{2}=\frac{k}{x} $的图象过点B(-1,3),
∴k=-1×3=-3.
∴$ y_{2}=-\frac{3}{x} $.
∵点A(a,-1)在双曲线上,
∴$ -1=-\frac{3}{a} $,
∴a=3.
∴A(3,-1).
∵一次函数$ y_{1}=mx+n(m\neq0) $的图象经过A,B两点,
∴$ \begin{cases} -m+n=3, \\ 3m+n=-1, \end{cases} $解得$ \begin{cases} m=-1, \\ n=2. \end{cases} $
∴一次函数的表达式为$ y_{1}=-x+2 $.
(2)在$ y_{1}=-x+2 $中,当x=0时,$ y_{1}=2 $;当$ y_{1}=0 $时,x=2.
∴D(0,2),C(2,0).
∵B(-1,3),
∴$ BD=\sqrt{2} $.
∵CP=6BD,
∴$ CP=6\sqrt{2} $.设点P的坐标为(x,-x+2),则$ CP=\sqrt{(x-2)^{2}+(-x+2)^{2}}=6\sqrt{2} $.解得x=8或-4(舍去).将x=8代入$ y_{1}=-x+2 $,得$ y_{1}=-6 $.
∴点P的坐标为(8,-6).
(3)观察图象可知,当$ y_{1}\leq y_{2} $时,x的取值范围是-1≤x＜0或x≥3.