《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

6. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,点 $ D $,$ E $ 分别在 $ BC $,$ AC $ 边上,且 $ BD = \frac{1}{3}BC $,$ CE = \frac{1}{3}AC $,$ BE $,$ AD $ 相交于点 $ F $,连接 $ DE $。有下列结论：① $ \angle AFE = 60^{\circ} $；② $ \frac{EF}{AF} = \frac{DF}{BF} $；③ $ CE^{2} = DF \cdot DA $；④ $ AF \cdot BE = AE \cdot AC $。其中正确的结论有(C)

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

答案： C

7. 如图,$ D $ 为 $ \triangle ABC $ 内一点,$ E $ 为 $ \triangle ABC $ 外一点,且 $ \angle ABC = \angle DBE $,$ \angle BAD = \angle BCE $。
(1) 求证：$ \triangle ABD \sim \triangle CBE $。
(2) 若 $ AB:DB = 5:2 $,$ AC = 6 $,求线段 $ DE $ 的长度。

答案：
(1)证明:
∵∠ABC=∠DBE,
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC.
∴∠ABD=∠CBE.
∵∠BAD=∠BCE,
∴△ABD∽△CBE.
(2)解:
∵△ABD∽△CBE,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$.
∵$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$,
∵∠ABC=∠DBE,
∴△ABC∽△DBE.
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{DE}$.
∵$\frac{6}{DE}=\frac{5}{2}$,
∴DE=2.4.

8. 如图,在平行四边形 $ ABCD $ 中,$ E $ 是边 $ AD $ 的延长线上一点,连接 $ BE $ 交边 $ CD $ 于点 $ F $,交对角线 $ AC $ 于点 $ G $。
(1) 求证：$ \triangle BGC \sim \triangle EGA $。
(2) 若 $ \frac{CG}{AG} = \frac{2}{3} $,求 $ \frac{DF}{CF} $ 的值。

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC//AD.
∴∠GAE=∠GCB,∠GEA=∠GBC.
∴△BGC∽△EGA.
(2)解:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD.设BC=AD=2x.
由
(1)知△BGC∽△EGA,
∴$\frac{BC}{AE}=\frac{CG}{AG}=\frac{2}{3}$.
∴AE=3x.
∴DE=x.
同
(1)得△DEF∽△CBF,
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$.