《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$\angle A = \angle B = 90^{\circ}$,点 $F$ 为 $CD$ 边上一点,且 $FE \perp AB$ 交 $AB$ 于点 $E$. 若 $AD = 2$,$BC = 8$,四边形 $AEFD \sim $ 四边形 $EBCF$,则 $\frac{DF}{FC}$ 的值为(B)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{4}{5}$

答案： B

10. 如图,四边形 $ABCD \sim $ 四边形 $A'B'C'D'$,且 $\angle A = 62^{\circ}$,$\angle B = 75^{\circ}$,$\angle D' = 140^{\circ}$,$AD = 9$,$A'B' = 11$,$A'D' = 6$,$B'C' = 8$.
(1) 填空：$\angle C = $83$^{\circ}$.
(2) 求 $AB$ 和 $BC$ 的长.

答案：
(1)
∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ ∠D=∠D'=140°.
∴ ∠C=360°-∠A-∠B-∠D=360°-62°-75°-140°=83°.
故填83.
(2)
∵ 四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，
∴ $\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AD}{A'D'}$.
∴ $\frac{AB}{11}=\frac{BC}{8}=\frac{9}{6}$.
∴ $AB=\frac{33}{2}$,$BC=12$.

11. 如图 1,将 A4 纸折叠两次,发现第一次的折痕与 A4 纸较长的边重合；如图 2,将一张 A4 纸对折,使其较长的边一分为二,沿折痕剪开,可得两张 A5 纸.

(1) 求 A4 纸较长边与较短边的比.
(2) A4 纸与 A5 纸是否为相似图形？请说明理由.

答案：

(1)如图.

由折叠过程可知，较长边=$\sqrt{2}AB$.
∴ A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$.
(2)A4纸与A5纸是相似图形. 理由：
∵ A4纸较长边与较短边的比为$\sqrt{2}:1$,
∴ 设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为$\sqrt{2}a$.
由图2可知：A5纸较长边的长为a,较短边的长为$\frac{\sqrt{2}}{2}a$.
∴ A5纸较长边与较短边的比为$\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}a}=\sqrt{2}$.
∴ A4纸较长边与较短边的比=A5纸较长边与较短边的比.
又
∵ A4纸与A5纸的四个角均为直角，
∴ A4纸与A5纸相似.