《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,在△ABC 中,∠ACB = 90°,点 D 是边 AB 的中点,连接 CD,过点 C 作 CE // AB,过点 B 作 BE // CD,CE,BE 相交于点 E.
(1) 判断四边形 CDBE 是什么特殊的四边形,并证明；
(2) 直接写出当△ABC 满足什么条件时,四边形 CDBE 是正方形.[img]

答案：
(1)四边形CDBE是菱形.
证明：
∵BE//CD，CE//AB，
∴四边形BDCE是平行四边形.
∵∠ACB=90°，点D是AB边的中点，
∴CD=BD.
∴平行四边形BDCE是菱形.
(2)当△ABC是等腰直角三角形时，四边形CDBE是正方形.

8. (1) 如图 1,在四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点. 求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
(2) 如图 2,点 P 是四边形 ABCD 内一点,且满足 PA = PB,PC = PD,∠APB = ∠CPD,点 E,F,G,H 分别为边 AB,BC,CD,DA 的中点,猜想四边形 EFGH 的形状,并证明你的猜想.
(3) 若改变(2)中的条件,使∠APB = ∠CPD = 90°,其他条件不变,直接写出四边形 EFGH 的形状. (不必证明)[img]

答案：

(1)证明：在图1中，连接BD.
∵点E，H分别为边AB，DA的中点，
∴EH//BD，EH=1/2BD.
∵点F，G分别为边BC，CD的中点，
∴FG//BD，FG=1/2BD.
∴EH//FG，EH=GF.
∴四边形EFGH是平行四边形.

(2)解：四边形EFGH是菱形.
证明：在图2中，连接AC，BD.
∵∠APB=∠CPD，
∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD，
即∠BPD=∠APC.
在△APC和△BPD中，
∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD，
∴△APC≌△BPD.
∴AC=BD.
∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，
∴EF=1/2AC，FG=1/2BD.
∴EF=FG.
由
(1)知四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是菱形.
(3)解：四边形EFGH是正方形.