《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,已知$D是\triangle ABC的边BC$上一点,$∠BAD = ∠C$,$∠ABC的平分线交边AC于点E$,交$AD于点F$,则下列结论中错误的是(A)

A.$\triangle BDF \backsim \triangle BEC$
B.$\triangle BFA \backsim \triangle BEC$
C.$\triangle BAC \backsim \triangle BDA$
D.$\triangle BDF \backsim \triangle BAE$

答案： A

8. 如图,在$□ ABCD$中,$AD = 10\ cm$,$CD = 6\ cm$,$E为AD$边上任意的一点,且$BE = BC$,$CE = CD$,则$DE$的长是(C)

A.$3\ cm$
B.$3.5\ cm$
C.$3.6\ cm$
D.$4\ cm$

答案： C

9. 如图,在矩形$ABCD$中,$E为BC$边上一点,连接$DE$,过点$A作AF \perp DE于点F$. 猜想：$\triangle DEC与\triangle ADF$相似吗？请说明理由.

答案： 解:△DEC与△ADF相似.
理由:
∵ 四边形ABCD为矩形,
∴ ∠C=90°,AD//BC.
∴ ∠ADF=∠DEC.
∵ AF⊥DE,
∴ ∠AFD=∠C=90°.
∴ △DEC∽△ADF.

10. (1) 问题：如图 1,在四边形$ABCD$中,$P为AB$边上一点,$∠DPC = ∠A = ∠B = 90^{\circ}$,求证：$AD \cdot BC = AP \cdot BP$.
(2) 探究：如图 2,在四边形$ABCD$中,$P为AB$边上一点,当$∠DPC = ∠A = ∠B = \theta$($\theta \neq 90^{\circ}$)时,(1) 中结论是否依然成立？请说明理由.

答案：
(1)证明:
∵ ∠DPC=∠A=∠B=90°,
∴ ∠ADP+∠APD=90°,∠BPC+∠APD=90°.
∴ ∠ADP=∠BPC.
∴ △ADP∽△BPC.
∴ $\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴ AD·BC=AP·BP.
(2)解:依然成立.
∵ ∠BPD=∠DPC+∠BPC,∠BPD=∠A+∠ADP,
∴ ∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.
∵ ∠DPC=∠A=∠B,
∴ ∠BPC=∠ADP.
∴ △ADP∽△BPC.
∴ $\frac{AD}{BP}=\frac{AP}{BC}$.
∴ AD·BC=AP·BP.