《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB ＞ BC$,点 $E$,$F$,$G$,$H$ 分别是边 $DA$,$AB$,$BC$,$CD$ 的中点,连接 $EG$,$HF$,则图中矩形一共有(C)

A.$5$ 个
B.$8$ 个
C.$9$ 个
D.$11$ 个

答案： C

8. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 9$,$AD = 12$,对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,过点 $O$ 作 $OE \perp AC$ 交 $AD$ 于点 $E$,则 $ED$ 的长为(A)

A.$\frac{21}{8}$
B.$\frac{21}{4}$
C.$2$
D.$\frac{15}{8}$

答案： A

9. 已知矩形的对角线长为 $1$,面积为 $m$,则矩形的周长为2$\sqrt{1 + 2m}$.

答案： 2$\sqrt{1 + 2m}$

10. 如图,$O$ 为坐标原点,四边形 $OABC$ 为矩形,$A(10,0)$,$C(0,4)$,点 $D$ 是 $OA$ 的中点,点 $P$ 在边 $BC$ 上运动. 当 $\triangle ODP$ 是腰长为 $5$ 的等腰三角形时,点 $P$ 的坐标为(2,4),(3,4)或(8,4).

答案： (2,4),(3,4)或(8,4)

11. 如图,将矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折叠,使点 $B$ 落到点 $B'$ 的位置,$AB'$ 与 $CD$ 相交于点 $E$.
(1) 试找出一个与 $\triangle AED$ 全等的三角形,并加以证明；
(2) 若 $AB = 8$,$DE = 3$,$P$ 为线段 $AC$ 上的任意一点,$PG \perp AE$ 于点 $G$,$PH \perp EC$ 于点 $H$,试求 $PG + PH$ 的值,并说明理由.

答案： 解:
(1)△AED≌△CEB'.证明:
∵四边形ABCD为矩形,△AB'C由△ABC沿对角线AC折叠得到,
∴B'C=BC=AD,∠B'=∠B=∠D=90°.又
∵∠B'EC=∠DEA,
∴△AED≌△CEB'.
(2)由折叠知∠EAC=∠CAB,且∠CAB=∠ECA.
∴∠EAC=∠ECA.
∴AE=EC=8 - 3=5.在Rt△ADE中,AD=$\sqrt{5² - 3²}$=4,延长HP交AB于点M,则PM⊥AB.
∴PG=PM.
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4.