《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + 2k = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $k$ 的取值范围是$k＜\frac {9}{2}$。

答案： $k＜\frac {9}{2}$

6. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $-x^{2}+(2m + 1)x + 1 - m^{2}= 0$ 无实数根,则 $m$ 的取值范围是$m＜-\frac {5}{4}$。

答案： $m＜-\frac {5}{4}$

7. 已知方程 $ax^{2}+4x - 2 = 0$,当$a≥-2$时,方程有实数根。

答案： $a≥-2$

8. 当 $b + c = 5$ 时,关于 $x$ 的一元二次方程 $3x^{2}+bx - c = 0$ 的根的情况为(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定

答案： A

9. 小明设计了一个魔术盒,将任意实数对 $(a,b)$ 放入其中,都会得到一个新的实数 $a^{2}-2b + 3$。若将实数对 $(x,-3x)$ 放入其中,得到的新数为 $5$,则 $x= $$-3\pm \sqrt {11}$。

答案： $-3\pm \sqrt {11}$

10. 如图,点 $C$ 在线段 $AB$ 上,点 $D$ 在线段 $AC$ 上,且 $AC^{2}= BC\cdot AB,AD = CD,AB = 2$,则 $AD$ 的长为$\frac {\sqrt {5}-1}{2}$。

答案： $\frac {\sqrt {5}-1}{2}$

11. 在菱形 $ABCD$ 中,$m,n,t$ 分别是菱形 $ABCD$ 的两条对角线长和边长,我们把关于 $x$ 的形如 $mx^{2}+atx + bn = 0(a,b$ 为非零常数) 的一元二次方程称为“菱系一元二次方程”。请解决下列问题：
(1) 填空：①当 $m = 2,n = 4$ 时,$t= $$\sqrt{5}$；
② $t^{2}= $$\frac{1}{4}m^{2}+\frac{1}{4}n^{2}$(用含 $m,n$ 的代数式表示)。
(2) 求证：关于 $x$ 的“菱系一元二次方程” $mx^{2}+2tx+\frac{1}{2}n = 0$ 必有实数根。

答案：
(1)①$\sqrt {5}$
②$\frac {1}{4}m^{2}+\frac {1}{4}n^{2}$
(2)证明:$mx^{2}+2tx+\frac {1}{2}n=0,$
$\Delta =(2t)^{2}-4m\cdot \frac {1}{2}n=4t^{2}-2mn.$
$\because t^{2}=\frac {1}{4}m^{2}+\frac {1}{4}n^{2},$
$\therefore \Delta =4t^{2}-2mn=m^{2}+n^{2}-2mn=(m-n)^{2}≥0.$
∴关于x的“菱系一元二次方程”$mx^{2}+2tx+\frac {1}{2}n=0$必有实数根.