《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

9. 在平面直角坐标系中,如果抛物线 $ y = 2x^2 $ 不动,把坐标系向上平移 1 个单位长度,那么在新坐标系下抛物线的函数表达式为y=2x²-1.

答案： y=2x²-1

10. 若二次函数 $ y = ax^2 + a^2 - 4 $ 有最大值 5,则 $ a $ 的值为-3.

答案： -3

11. 已知点 $ A(4,y_1) $,$ B(1,y_2) $,$ C(-3,y_3) $ 在函数 $ y = -3x^2 + m(m $ 为常数 $ ) $ 的图象上,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系是(D)
A.$ y_1 ＞ y_2 ＞ y_3 $
B.$ y_1 ＞ y_3 ＞ y_2 $
C.$ y_3 ＞ y_1 ＞ y_2 $
D.$ y_2 ＞ y_3 ＞ y_1 $

答案： D

12. 在同一平面直角坐标系中,函数 $ y = ax^2 + b $ 与 $ y = ax + b(a,b $ 都不为 $ 0) $ 的大致图象可能是(A)

A.
B.
C.
D.

答案： A

13. 已知正方形四个顶点的坐标分别为 $ (1,2) $,$ (3,2) $,$ (1,4) $,$ (3,4) $,若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象与正方形有交点,则 $ a $ 的取值范围是$\frac{2}{9}$≤a≤4.

答案： $\frac{2}{9}$≤a≤4

14. 已知抛物线 $ y = ax^2 + n(an ＞ 0) $ 与抛物线 $ y = -2x^2 $ 的形状相同,且图象上离 $ x $ 轴最近的点到 $ x $ 轴的距离为 3.
(1) 求 $ a $,$ n $ 的值；
(2) 指出抛物线 $ y = ax^2 + n $ 的开口方向、对称轴和顶点坐标.

答案：
(1)a=2,n=3或a=-2,n=-3.
(2)当a=2,n=3时,抛物线为y=2x²+3,抛物线开口向上,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,3);当a=-2,n=-3时,抛物线为y=-2x²-3,抛物线开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,-3).

15. 已知抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点 $ F(0,2) $ 的距离与到 $ x $ 轴的距离相等. 如图,点 $ M $ 的坐标为 $ (\sqrt{3},3) $,$ P $ 是抛物线 $ y = \frac{1}{4}x^2 + 1 $ 上一动点.
(1) 当 $ \triangle POF $ 的面积为 4 时,求点 $ P $ 的坐标；
(2) 求 $ \triangle PMF $ 周长的最小值.

答案：
(1)(-4,5)或(4,5).
(2)过点M作ME⊥x轴于点E,交抛物线y=$\frac{1}{4}$x²+1于点P,此时△PMF周长取得最小值.
∵F(0,2),M($\sqrt{3}$,3),
∴ME=3,FM=$\sqrt{(\sqrt{3}-0)²+(3-2)²}$=2.
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.