《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

6. 体育课上,老师用绳子围成一个周长为 $30m$ 的游戏场地,围成的场地是如图所示的矩形 $ABCD$。设边 $AB$ 的长为 $x$ (单位：$m$),矩形 $ABCD$ 的面积为 $S$ (单位：$m^{2}$)。

(1)求 $S$ 与 $x$ 之间的函数关系式(不要求写出自变量 $x$ 的取值范围)。
(2)若矩形 $ABCD$ 的面积为 $50m^{2}$,且 $AB ＜ AD$,求出此时 $AB$ 的长。
(3)这条绳子围成的矩形游戏场地的最大面积是多少？
\boxed{第6题图}

答案： 解：
(1)根据题意得AD=$\frac{30 - 2x}{2}=15 - x$，
$S = x(15 - x)= - x^{2} + 15x$。
(2)当S = 50时，$-x^{2} + 15x = 50$，整理得$x^{2} - 15x + 50 = 0$，解得$x_{1}=5$，$x_{2}=10$。
当AB = 5时，AD = 10；当AB = 10时，AD = 5。
$\because AB \lt AD$，$\therefore AB = 5m$。
(3)$S = - x^{2} + 15x = - (x - \frac{15}{2})^{2} + \frac{225}{4}$，
$\therefore$当$x = \frac{15}{2}$时，$S_{最大}=\frac{225}{4}$。
$\therefore$这条绳子围成的矩形游戏场地的最大面积是$\frac{225}{4}m^{2}$。

7. 某学校为美化学校环境,打造绿色校园,决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园,用一道篱笆把花园分为 $A$,$B$ 两块(如图所示),花园里种满牡丹和芍药。学校已定购篱笆 $120m$。
(1)设计一个使花园面积最大的方案,并求出其最大面积。
(2)在花园面积最大的条件下,$A$,$B$ 两块内分别种植牡丹和芍药,每平方米种植 $2$ 株。已知牡丹每株售价 $25$ 元,芍药每株售价 $15$ 元,学校计划购买费用不超过 $5$ 万元,求最多可以购买多少株牡丹。

答案： 解：
(1)设垂直于墙的边长为$x$m，围成的矩形的面积为$S m^{2}$，则平行于墙的边长为$(120 - 3x)$m。
根据题意得$S = x(120 - 3x)= - 3x^{2} + 120x = - 3(x - 20)^{2} + 1200$。
$\because - 3 \lt 0$，
$\therefore$当x = 20时，S取最大值1200。
$\therefore 120 - 3x = 120 - 3×20 = 60$。
$\therefore$当垂直于墙的边长为20m，平行于墙的边长为60m时，花园面积最大，为$1200m^{2}$。
(2)设购买牡丹$m$株，则购买芍药$1200×2 - m = (2400 - m)$株。
$\because$学校计划购买费用不超过5万元，
$\therefore 25m + 15(2400 - m) \leq 50000$，
解得$m \leq 1400$。
$\therefore$最多可以购买1400株牡丹。