《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,在$□ ABCD$中,$AB= 4$,点D的坐标是$(0,-4)$,以点C为顶点的抛物线$y= ax^{2}+bx+c(a≠0)$经过x轴上的A,B两点,则抛物线的表达式是y=(x - 4)² - 4。

答案： y=(x - 4)² - 4

10. 如图,一拱桥的截面呈抛物线形状,拱桥两端点与水面的距离都是1m,拱桥的跨度为10m,拱桥与水面的最大距离是5m,桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯。
(1)建立适当的平面直角坐标系并求出抛物线对应的函数表达式；
(2)求两盏景观灯之间的水平距离。

答案： 解:
(1)答案不唯一,建立如图所示的平面直角坐标系.　由题意,得抛物线的顶点坐标是(5,5),与y轴的交点坐标是(0,1).设抛物线对应的函数表达式是y=a(x - 5)² + 5,把(0,1)代入y=a(x - 5)² + 5,得$a=-\frac{4}{25}.$
∴$y=-\frac{4}{25}(x - 5)² + 5(0≤x≤10).(2)$由已知得两盏景观灯的纵坐标都是4,令$4=-\frac{4}{25}(x - 5)² + 5,$
∴$\frac{4}{25}(x - 5)²=1.$
∴$x₁=\frac{15}{2},x₂=\frac{5}{2}.$
∴两盏景观灯之间的水平距离为$\frac{15}{2}-\frac{5}{2}=5(m).$

11. 已知二次函数$y= -x^{2}+bx+c$。
(1)当$b= 4$,$c= 3$时,
①求该函数图象的顶点坐标；
②当$-1≤x≤3$时,求y的取值范围。
(2)当$x≤0$时,y的最大值为2；当$x＞0$时,y的最大值为3,求二次函数的表达式。

答案： 解:
(1)①当b = 4,c = 3时,y=-x²+4x + 3=-(x - 2)² + 7,
∴顶点坐标为(2,7).②
∵-1≤x≤3中含有x = 2,且图象顶点为(2,7),
∴当x = 2时,y有最大值7.
∵2-(-1)＞3 - 2,
∴当x = -1时,y有最小值-2.
∴当-1≤x≤3时,-2≤y≤7.
(2)
∵当x≤0时,y的最大值为2;当x＞0时,y的最大值为3,
∴抛物线的对称轴$x=\frac{b}{2}$在y轴的右侧.
∴b＞0.
∵抛物线开口向下,当x≤0时,y的最大值为2,
∴c = 2.又
∵$\frac{4×(-1)×c - b²}{4×(-1)}=3,$
∴b=±2.
∵b＞0,
∴b = 2.
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x + 2.