《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

8. 如图,DB 是ABCD的对角线.
(1) 尺规作图：作线段 BD 的垂直平分线 EF,分别交 AB,DB,DC 于点 E,O,F,连接 DE,BF(保留作图痕迹,不写作法).
(2) 试判断四边形 DEBF 的形状,并说明理由.

答案：
解:
(1)如图.

(2)四边形 DEBF 为菱形.
理由如下:如图,
∵ EF 垂直平分 BD,
∴ EB=ED,FB=FD,OB=OD.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
∴ CD//AB.
∴ ∠FDB=∠EBD.
∴ △ODF≌△OBE(ASA).
∴ DF=BE.
∴ DE=EB=BF=DF.
∴ 四边形 DEBF 为菱形.

9. 如图,过ABCD的顶点 B 作边 AD 和 CD 的垂线,垂足分别为 M,N,连接 AC,BD,MN. 若 BM = BN,则下列说法中错误的是(C)

A.∠MBN = ∠BAD
B.MN//AC
C.△ABD 是等边三角形
D.四边形 ABCD 为菱形

答案： C

10. 如图,在等腰△ABC 中,∠CAB = ∠B = 30°,点 D,E 分别为 AB,AC 的中点,延长 BC 至点 F,使 CF = $\frac{1}{2}$BC,连接 CD,EF 和 AF.
(1) 求证：DE = CF.
(2) 求证：四边形 CDEF 为菱形.
(3) 若 BC = 2,求 AF 的长.

答案：
(1)证明:
∵ 点 D,E 分别为 AB,AC 的中点,
∴ DE 是△ABC 的中位线.
∴ DE//BC 且 DE=$\frac{1}{2}$BC.
又
∵ CF=$\frac{1}{2}$BC,
∴ DE=CF.
(2)证明:由
(1)知 DE//CF 且 DE=CF,
∴ 四边形 CDEF 为平行四边形.
又
∵ △ABC 是等腰三角形且∠CAB=∠B=30°,
点 D 为 AB 的中点,
∴ DC⊥AB.
∴ DC=$\frac{1}{2}$BC.
∴ DC=DE.
∴ 四边形 CDEF 为菱形.
(3)解:由
(2)知四边形 CDEF 为菱形,
∴ CD=CF,∠DCA=∠FCA.
又
∵ AC=AC,
∴ △ACD≌△ACF(SAS).
∴ AF=AD=BD.
在 Rt△BDC 中,∠B=30°,BC=2,
∴ CD=1.
∴ AF=BD=$\sqrt{BC^2-CD^2}$=$\sqrt{3}$.