《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

7. 如图,在 $□ ABCD$ 中,$AD = 3$,$CD = 2$. 连接 $AC$,过点 $B$ 作 $BE // AC$,交 $DC$ 的延长线于点 $E$,连接 $AE$,交 $BC$ 于点 $F$. 若 $\angle AFC = 2\angle D$,则四边形 $ABEC$ 的面积为2√5.

答案： 2√5

8. 如图,直线 $AB:y = 2x + 5$ 与 $y$ 轴交于点 $A$,与 $x$ 轴交于点 $B$,点 $P$ 为线段 $AB$ 上的一个动点,作 $PE \perp y$ 轴于点 $E$,$PF \perp x$ 轴于点 $F$,连接 $EF$,则线段 $EF$ 长的最小值为√5.

答案： √5

9. 如图,在 $□ ABCD$ 中,各个内角的平分线相交于点 $E$,$F$,$G$,$H$,连接 $EG$,$FH$.
(1) 猜想 $EG$ 与 $FH$ 之间的关系；
(2) 请证明你的猜想.

答案：
(1)解:EG=FH.
(2)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD//BC,AB//CD.
∴∠BAD+∠ABC=180°.又
∵AF,BH分别平分∠BAD,∠ABC,
∴∠BAE+∠ABE=90°.
∴∠AEB=90°.
∴∠FEH=90°.同理可证∠EFG=90°,∠EHG=90°,
∴四边形EFGH为矩形.
∴EG=FH.

10. 如图,菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$,$BD$ 相交于点 $O$,过点 $D$ 作 $DE // AC$,且 $DE = \frac{1}{2}AC$,连接 $CE$.
(1) 求证：四边形 $OCED$ 为矩形.
(2) 连接 $AE$,若 $DB = 6$,$AC = 8$,求 $AE$ 的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AO=OC=$\frac{1}{2}$AC.
∴∠DOC=90°.
∵DE//AC,DE=$\frac{1}{2}$AC,
∴DE=OC,DE//OC.
∴四边形OCED是平行四边形.又
∵∠DOC=90°,
∴平行四边形OCED是矩形.
(2)解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴DO=$\frac{1}{2}$BD=3.由
(1)得四边形OCED为矩形,
∴CE=OD=3,∠OCE=90°.在Rt△ACE中,由勾股定理得AE=$\sqrt{AC²+CE²}$=$\sqrt{8²+3²}$=$\sqrt{73}$,即AE的长为$\sqrt{73}$.