《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

在平面直角坐标系中,将一个多边形每个顶点的横、纵坐标都乘同一个数$k(k\neq0)$,所对应的图形与原图形位似,位似中心是坐标原点,它们的相似比为|k|.

答案： 坐标原点 |k|

1. 如图,$\triangle AOB与\triangle COD是以点O$为位似中心的位似图形,且相似比为$1:2$.若点$A(2,1)$,则点$C$的坐标为(D)

A.$(1,2)$
B.$(2,1)$
C.$(2,4)$
D.$(4,2)$

答案： D

2. 如图,点$P(8,6)在\triangle ABC的边AC$上,以原点$O$为位似中心,在第一象限内将$\triangle ABC缩小到原来的\frac{1}{2}$,得到$\triangle A'B'C'$,点$P在A'C'上的对应点P'$的坐标为(A)

A.$(4,3)$
B.$(3,4)$
C.$(5,3)$
D.$(4,4)$

答案： A

3. 如图,已知$O$是坐标原点,$A,B两点的坐标分别为(3,-1),(2,1)$.

(1)以点$O$为位似中心,在$y轴的左侧将\triangle OAB$放大到原来的2倍;
(2)分别写出$A,B两点的对应点A',B'$的坐标.

答案：
解:
(1)如图所示,△OA'B'即为所求;
(2)点A'的坐标是(-6,2),点B'的坐标是(-4,-2).

4. 如图,直线$y= \frac{1}{2}x + 1与x轴交于点A$,与$y轴交于点B$,$\triangle BOC与\triangle B'O'C'是以点A$为位似中心的位似图形,且相似比为$1:3$,则点$B的对应点B'$的坐标为(-8,-3)或(4,3).

答案： (-8,-3)或(4,3)

5. 如图,在平面直角坐标系中,点$A的坐标为(1,0)$,点$D的坐标为(3,0)$.若$\triangle ABC与\triangle DEF$是位似图形,则$\frac{AC}{DF}$的值是(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$

答案： B

6. (2025·内蒙古)如图,在平面直角坐标系中,$\triangle OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(2,1),B(1,2)$,以原点$O$为位似中心,在第三象限画$\triangle OA'B'与\triangle OAB$位似.若$\triangle OA'B'与\triangle OAB的相似比为2:1$,则点$A的对应点A'$的坐标为( )


A.$( - 2,-1)$
B.$( - 4,-2)$
C.$( - 1,-2)$
D.$( - 2,-4)$

答案： B

7. 如图,$\triangle ABC$的顶点都在小正方形的顶点上,每个小正方形的边长均为1.

(1)以点$O$为位似中心,把$\triangle ABC按2:1$放大,在$y$轴的左侧,画出放大后的$\triangle DEF$;
(2)点$A的对应点D$的坐标是____;
(3)求$S_{\triangle ABO}:S_{四边形ABED}$的值.

答案：
解:
(1)如图所示,△DEF即为所求;
(2)点A的对应点D的坐标是(-2,6),故答案为(-2,6).
(3)由题意可得AB//DE,
∴△ABO∽△DEO.又
∵相似比为2:1,
∴S△ABO:S△DEO=1:4.
∴S△ABO:S四边形ABED=1:3.

8. 如图,在平面直角坐标系中,等边$\triangle ABC与等边\triangle BDE是以原点O$为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,点$A,B,D在x$轴上.若等边$\triangle BDE$的边长为6,求点$C$的坐标.

答案：
解:作CF⊥AB于点F.
∵等边△ABC与等边△BDE是以原点为位似中心的位似图形,
∴BC//DE.
∴△OBC∽△ODE.
∴$\frac{BC}{DE}$=$\frac{OB}{OD}$.
∵△ABC与△BDE的相似比为$\frac{1}{3}$,等边△BDE的边长为6,
∴$\frac{BC}{6}$=$\frac{OB}{OB+6}$=$\frac{1}{3}$,解得BC=2,OB=3.
∴OA=1.
∵CA=CB,CF⊥AB,
∴AF=1.
∴OF=2.由勾股定理得CF=$\sqrt{AC²−AF²}$=$\sqrt{3}$;
∴点C的坐标为(2,$\sqrt{3}$).