《2025年新教材新评估九年级数学全一册北师大版》

9. 如图,将 $ \triangle ABC $ 沿 $ BC $ 边上的中线 $ AD $ 平移到 $ \triangle A'B'C' $ 的位置. 已知 $ \triangle ABC $ 的面积为 $ 16 $,阴影部分三角形的面积为 $ 9 $. 若 $ AA' = 1 $,则 $ A'D $ 的长为(B)

A.$ 2 $
B.$ 3 $
C.$ 4 $
D.$ \frac{3}{2} $

答案： B

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle DEC $ 中,$ \angle A = \angle D $,$ \angle BCE = \angle ACD $.
(1) 求证：$ \triangle ABC \backsim \triangle DEC $.
(2) 若 $ S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC} = 4:9 $,$ BC = 4 $,求 $ EC $ 的长.

答案：
(1)证明:
∵∠BCE=∠ACD,
∴∠BCE+∠ECA=∠ACD+∠ACE,
即∠BCA=∠ECD.
又
∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEC.
(2)解:
∵△ABC∽△DEC,$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}=4:9$,
∴$(\frac{EC}{BC})^2=\frac{S_{\triangle DEC}}{S_{\triangle ABC}}$,即$(\frac{EC}{4})^2=\frac{9}{4}$.
∴EC=6或EC=-6(不合题意,舍去).
∴EC的长为6.

11. 某小区居民筹集资金 $ 1600 $ 元,计划在两底分别为 $ 10\ m $,$ 20\ m $ 的梯形空地上种花,如图.
(1) 他们在 $ \triangle AMD $ 和 $ \triangle BMC $ 地带上种太阳花,花的价格为 $ 8\ 元/m^2 $,当 $ \triangle AMD $ 地带种满花后(图中阴影部分),共花了 $ 160 $ 元,求种满 $ \triangle BMC $ 地带所需费用.
(2) 若其余地带有玫瑰、茉莉两种可供选择,花的价格分别为 $ 12\ 元/m^2 $,$ 10\ 元/m^2 $,选种哪种花刚好用完所筹集的资金？

答案： 解:
(1)
∵四边形ABCD是梯形,
∴AD//BC.
∴∠MAD=∠MCB,∠MDA=∠MBC.
∴△AMD∽△CMB.
∴$\frac{S_{\triangle AMD}}{S_{\triangle BMC}}=(\frac{10}{20})^2=\frac{1}{4}$.
∵种满△AMD地带花费160元,价格为8元/m²,
∴$S_{\triangle AMD}=20\ m^2$.
∴$S_{\triangle CMB}=80\ m^2$.
∴种满△BMC地带所需的费用为8×80=640(元).
(2)设△AMD的高为$h_1$,△BMC的高为$h_2$,梯形ABCD的高为h.
∵$S_{\triangle AMD}=\frac{1}{2}×10h_1=20$,
∴$h_1=4$.
∵$S_{\triangle BMC}=\frac{1}{2}×20h_2=80$,
∴$h_2=8$.
∴$S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(AD+BC)\cdot h$
=$\frac{1}{2}×(10+20)×(4+8)$
=180.
∴$S_{\triangle AMB}+S_{\triangle DMC}=180-20-80=80(m^2)$.
∵160+640+80×12=1760(元),
160+640+80×10=1600(元),
∴选种茉莉花刚好用完所筹集的资金.